Déterminer une surface cultivable

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anthony_unac
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Déterminer une surface cultivable

par anthony_unac » 26 Juil 2016, 18:14

Bonjour,

Un agriculteur possède un terrain en forme de triangle rectangle dont les côtés (en hectomètres) valent , et (avec h l'hypothénuse).
Tout son terrain peut être cultivable en dépit de son habitation d'un hectare situé sur cette parcelle triangulaire.
Déterminer la surface cultivable sachant qu'elle peut être exprimée sous la forme d'un produit de nombres entiers de la forme ?



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Sake
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Re: Déterminer une surface cultivable

par Sake » 26 Juil 2016, 19:02

La surface cultivable vaut

Jusqu'à présent, je trouve que , si ca sert à quelque chose (et si c'est juste!!).

Ca fait 16 termes à sommer. D'un autre coté, on a ...

Je vais laisser ca pour quelqu'un d'autre.

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anthony_unac
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Re: Déterminer une surface cultivable

par anthony_unac » 26 Juil 2016, 19:09

Sake a écrit:La surface cultivable vaut



C'est juste !
C'est la suite qui est rude !

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anthony_unac
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Re: Déterminer une surface cultivable

par anthony_unac » 27 Juil 2016, 09:37

Petit indice : les 4 nombres entiers composant le produit sont des nombres premiers ;)

Pseuda
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Re: Déterminer une surface cultivable

par Pseuda » 27 Juil 2016, 19:56

Remarquer que : = . Est-ce un début de solution ?

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anthony_unac
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Re: Déterminer une surface cultivable

par anthony_unac » 27 Juil 2016, 22:58

Je vous remercie de porter un intérêt à ce problème "à la con" car je me rends qu'en dépit du bon sens de Sake ou de toi Pseuda ce problème semble insoluble.
Aurais je été trop radin sur les donnés du problème pour vouloir rendre l'énigme trop corsé ?
Pseuda ton égalité est juste également.
Mais cela permet il de conclure pour autant ?
Je vais donc lâcher un dernier indice plus que mérité compte tenu du fait que ça semble infaisable sans : les m_i sont des puissances de 2

Pseuda
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Re: Déterminer une surface cultivable

par Pseuda » 27 Juil 2016, 23:15

Ce qui a été fait une fois peut toujours être recommencé (avec n assez grand), mais de là à trouver des nombres premiers ?

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anthony_unac
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Re: Déterminer une surface cultivable

par anthony_unac » 27 Juil 2016, 23:18

Je repose donc la question compte tenu des différents aléas :
Déterminer la surface cultivable sachant qu'elle peut être exprimée sous la forme d'un produit de nombres entiers de la forme ?

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Re: Déterminer une surface cultivable

par anthony_unac » 30 Juil 2016, 10:22

La surface cultivable est de . ;)

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Re: Déterminer une surface cultivable

par anthony_unac » 31 Juil 2016, 11:04

Bonjour,

Il était possible de trouver le résultat en exploitant le fait que la surface cultivable :

Or des nombres premiers , il n'y en a pas beaucoup de connu à l'heure actuelle, ce sont les fameux premiers de Fermat.
Je vous donnerai dans quelque temps une seconde méthode de résolution mais je patiente pour le moment car il me semble que notre ami Pseuda est bien parti pour mettre la main dessus ;)

Pseuda
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Re: Déterminer une surface cultivable

par Pseuda » 01 Aoû 2016, 12:21

Bonjour,

J'arrive au même résultat : 65535 ha (avec la méthode exposée ci-dessus, pour avoir 4 entiers, on aboutit à n=4, d'où le résultat). ;)

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anthony_unac
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Re: Déterminer une surface cultivable

par anthony_unac » 01 Aoû 2016, 13:35

Au final, cet exercice n'était qu'un prétexte pour revoir cette jolie relation (trouvée il n'y a pas si longtemps que ça d'ailleurs) :

Pour tout entier naturel

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anthony_unac
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Re: Déterminer une surface cultivable

par anthony_unac » 01 Aoû 2016, 16:07

Après coup, j'ai des doutes sur mes sources concernant cette relation (qui elle par contre est correcte pas de soucis). D'après cette source, la trouvaille date des années 80 mais en consultant wikipédia (mot clé : Nombre de Fermat), on retrouve précisément cette relation (si si c'est la même) sous la forme :

Autrement dit, le nième nombre de Fermat est égal au produit de tous les nombres de Fermat précédant plus deux. Et c'est à partir de cette relation qu'on en déduit le théorème de Goldbach.
Mais Goldbach ne date pas des années 80 donc cette relation semble connue depuis le 18eme siècle ?
Modifié en dernier par anthony_unac le 02 Aoû 2016, 02:22, modifié 1 fois.

Pseuda
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Re: Déterminer une surface cultivable

par Pseuda » 01 Aoû 2016, 20:47

En effet, cela m'étonnerait que cette "trouvaille" date des années 80, étant donné que les nombres de Fermat datent de Fermat et du 17ème siècle.

 

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