Centre de gravité

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Doraki
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centre de gravité

par Doraki » 10 Juin 2010, 20:25

On regarde un solide S dans le plan, défini en coordonnées polaires par r <= f(;)),
où f est une fonction continue 2pi-périodique de R dans R+*.
(ou une fonction continue de R/2piR dans R+*).

Une corde de S est un segment reliant deux points se trouvant sur la frontière de S.

1) montrer que O (l'origine du repère), est le milieu d'au moins 1 corde.

On suppose en plus que O est le centre de gravité du solide S.

2) montrer que O est le milieu d'au moins 2 cordes.
3) montrer que O est le milieu d'au moins 3 cordes.



Finrod
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par Finrod » 10 Juin 2010, 21:57

Pour le 1), je pense que j'ai. en regardant

Pour le 2), je doute, je choisi la primitive de f qui s'annule en 0, je lui applique le 1 puis j'applique Rolle deux fois (sur 2 intervalles distincts) grâce à l'hyp du centre de gravité.

Pour le 3, je sais pas.

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Ben314
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par Ben314 » 11 Juin 2010, 14:12

C'est plutôt qu'il faut étudier ( ssi la corde entre et a pour milieu O)

Pour le 1), le fait que assure que s'annule au moins une fois sur .

Le fait que le centre de gravité soit signifie que et cela implique que, pour tout réel , on .
En multipliant par et en regardant la partie imaginaire, on voit que change de signe sur ce qui, si on a pris le soin de prendre tel que , implique que g s'annule au moins deux fois sur

Si ne changait qu'une seule fois de signe en sur , en multipliant par et en regardant la partie réelle, on tomberait sur une contradiction.
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Doraki
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par Doraki » 12 Juin 2010, 00:07

Ouais, c'est ça (enfin j'ai pas vérifié l'expression du h).

Si on prend maintenant un solide en dimension 3, et un repère sphérique,

Si O est un point à l'intérieur du solide,
Montrer qu'il existe au moins un plan passant par O tel que O soit le centre de gravité de l'intersection du solide avec le plan.

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Ben314
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par Ben314 » 12 Juin 2010, 16:32

On suppose (comme en dimension 2) que le solide est compact et étoilé en O ?
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Doraki
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par Doraki » 13 Juin 2010, 09:30

Oui excuse-moi,
O est l'origine du repère sphérique, et la fonction f qui à une direction associe la longueur du solide suivant cette direction dans R+* est toujours continue.

Donc oui, le solide est compact et étoilé en O.

Finrod
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par Finrod » 13 Juin 2010, 11:20

Bonjour Doraki,

Désolé de la digression mais je me demandais d'où venait l'exercice.

(je déclare forfait pour la résolution, vu que je ne connaissait de toute façon pas la déf de centre de gravité... (presque) dernier en physique en prépa ça laisse des traces.)

Benjamin
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par Benjamin » 13 Juin 2010, 11:41

Bonjour,

Le centre de gravité n'a rien à voir avec la physique :P C'est une définition on ne peut plus mathématique.

, V étant le volume du solide. Ce qui est équivalent à

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Lostounet
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par Lostounet » 15 Juin 2010, 01:04

Benjamin a écrit:Bonjour,

Le centre de gravité n'a rien à voir avec la physique :P C'est une définition on ne peut plus mathématique.


:hein:
On nous demande parfois de déterminer le centre de gravité d'un solide (régulier bien déterminé) en physique pour ce qui est forces / poids..?

A moins que ce ne soit qu'une notion passagère qui ne sert pas à grand chose ?
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

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Olympus
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par Olympus » 15 Juin 2010, 01:06

Le centre de gravité n'a rien à voir avec la physique :P


Son nom si !

Benjamin
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par Benjamin » 15 Juin 2010, 01:14

Oui, je me suis mal exprimé. Bien sûr que le centre de gravité est lié à de la physique. Ce que je voulais dire, c'est que sa définition est à base de barycentres, bref un truc bien carré niveau mathématique.
Ce n'est pas comme la notion de force qui sera modélisé par un vecteur par exemple.

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Ben314
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par Ben314 » 15 Juin 2010, 12:56

Si a tout vecteur de la sphère , on associe le vecteur est le centre de gravité de l'intersection du solide avec le plan alors or on sait qu'on ne peut pas "peigner" la sphère...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Doraki
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par Doraki » 15 Juin 2010, 21:20

Oui c'est bien ça.

Sinon, je confirme ce qu'a dit benjamin, le centre de gravité a une définition tout à fait mathématique, et pas très surprenante.

 

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