L'énigme de la chevre

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Posted by: Quidam intrigué

Voila un ami m'a posé cette devinette, bientot je compris qu'elle depasait a priori de loin mes competences en mathematiques. Quand je lui demandais la solution il m'avoua n'avoir jamais trouvé quelqu'un pour lui fournir ??!! En 28 ans seul une personne lui avait fourni une reponse 'satisfaisante'.

Je vous donne tout de suite l'énoncé, au demeurant fort simple, peut etre est-ce un classique pour vous, peut etre est-il connu ... ?



M. Seguin a trouvé la solution pour éviter que sa chèvre se fasse manger par le loup : il va la mettre dans un champ parfaitement rond et clôturé.
Il attache donc la biquette à une corde et attache la dite corde à un des piquets de la clôture. Mettons que le champ fasse R mètres de rayon.
Quelle devra être la longueur r de la corde de façon que la chèvre ne puisse brouter que la moitié de la superficie du champ ?


La reponse satisfaisante est la http://www.crdp.ac-grenoble.fr/imel...evre/chevre.htm
Mais je suis sur qu'il en existe une plus rigoureuse.

En l'attente de votre reponse ou du moins une piste, un element ..
Merci


Posted by: Non inscrit

je me souviens l'avoir vu comme étant un sujet d'olympiades mais, après recherches, je ne le retrouve plus..


Posted by: Non inscrit

Merci je vais chercher au cas ou ...

Je reste a l'ecoute de vos propositions


Posted by: Non inscrit

Okay j'ai trouvé la discussion anterieur

http://www.maths-forum.com/showthre...ighlight=chevre

Je continue donc mes investigation par la bas . merci


Posted by: Non inscrit

moi je sé elle doit faire 6 fopis le diametre


Posted by: Non inscrit

Une réponses succinte (J'ai pas trop le temps là ^^):

Le piquet et le centre du champ forment les centres de 2 cercles C1 et C2.
Ces deux cercles se croisent en 2 points que l'on va nommer P1 et P2.
Les centre se nomment X1 et X2.
Tracons un segment entre P1 et P2.
Ce trait crée 2 petites surfaces que l'on va nommer A1 et A2

Ce que l'on veut finalement, c'est que A1+A2 = 1/2 de l'aire de C2.
(R2 : rayon de C2)

L'aire de C2 est connue :
aire de C2 = Pi*R2^2

Il faut ensuite calculer A1 et A2 en fonction de R1 et de R2 et des angles P1-X1-P2 et P1-X2-P2.

Au final, on a 4 équations à résoudre.

Bon courage.

Kcm.


Posted by: CQFD

Voici une réponse (désolé, le code est en LaTeX avec packages pstricks et amsmaths); sachez simplement qu'il n'y a pas de réponse explicite (en fonction du rayon du champ)

Une vache est attachée par une longe au bord d'un enclos circulaire de rayon $R$.\\
Quelle doit être la longueur $L$ de la longe pour que la vache puisse brouter la moitié de l'enclos ?\\

\begin{center}
\begin{pspicture}(8.5,8)
\pscircle(4.5,4){4}\psarc(0.5,4){4.63}{305.8}{54.2 }\psline(0.5,4)(3.18,0.24)(4.5,4)(3.18,7.76)(0.5,4 )\psline(0.5,4)(8.5,4)
\psarc(0.5,4){0.4}{0}{54}\psarc(3.18,7.76){0.4}{23 7}{292}\psarc(4.5,4){0.4}{108}{180}\psarc(4.5,4){0 .33}{108}{180}
\put(0.95,4.3){$\dfrac{\alpha}{2}$}\put(2.9,6.9){$ \dfrac{\alpha}{2}$}\put(3.25,4.3){$\pi-\alpha$}
\put(0.15,3.9){$A$}\put(2.95,0){$I$}\put(2.95,7.8) {$J$}\put(4.5,4.1){$O$}
\put(2.3,4.1){$R$}\put(3.95,5.7){$R$}\put(3.95,2.1 ){$R$}\put(1.9,2.1){$L$}\put(1.9,5.7){$L$}
\end{pspicture}
\end{center}
Nécessairement, on a $L\in]R;2R[$.\\
Dans le triangle $AOI$, on a : $L\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=R\sin(\pi-\alpha)=R\sin(\alpha)$ d'où $L=2R\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$.\\
$\mathcal{A}_{1}=\mathcal{A}(sectang\stackrel{\fro wn}{AOI})=\pi R^{2}\dfrac{\pi-\alpha}{2\pi}=R^{2}\dfrac{\pi-\alpha}{2}$.\\
$\mathcal{A}_{2}=\mathcal{A}(AOI)=\dfrac{1}{2}OA\t imes OI\times\sin(\pi-\alpha)=\dfrac{R^{2}\sin(\alpha)}{2}$.\\
$\mathcal{A}_{3}=\mathcal{A}_{1}-\mathcal{A}_{2}=\dfrac{R^{2}}{2}(\pi-\alpha-\sin(\alpha))$.\\
$\mathcal{A}_{4}=\mathcal{A}(sectang\stackrel{\fro wn}{IAJ})=\pi L^{2}\dfrac{\alpha}{2\pi}=\dfrac{L^{2}\alpha}{2}=2 R^{2}\alpha\cos^{2}\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$ .\\
$\mathcal{A}=\mathcal{A}_{4}+2\mathcal{A}_{3}=2R^{ 2}\alpha\cos^{2}\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)+R^{ 2}(\pi-\alpha-\sin(\alpha))=R^{2}(\pi+\alpha\cos(\alpha)-\sin(\alpha))$.\\
On veut : $R^{2}(\pi+\alpha\cos(\alpha)-\sin(\alpha))=\dfrac{\pi R^{2}}{2}$,\\
soit : $\dfrac{\pi}{2}+\alpha\cos(\alpha)-\sin(\alpha)=0$.\\
La résolution numérique de cette équation fournit :
\begin{center}
$\alpha\approx 1,\!905695729$
\end{center}
puis, si $R=1$ :
\begin{center}
$L\approx 1,\!158728473$
\end{center}


Posted by: phenomene

Cette énigme classique fait l'objet d'une entrée dans la FAQ du newsgroup fr.sci.maths.


Posted by: N_comme_Nul

Salut !

J'ai compilé le texte source :
http://www.web-images.org/images/36...igme-chevre.gif





Posted by: pi-R

J'ai la même question mais avec un champs carré et le pieux de la corde attaché au milieu d'un des côté. Quelle doit être la longueur de la corde pour que la chêvre ne puisse au maximum brouter que la moitié du champs...


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par pi-R
J'ai la même question mais avec un champs carré et le pieux de la corde attaché au milieu d'un des côté. Quelle doit être la longueur de la corde pour que la chêvre ne puisse au maximum brouter que la moitié du champs...


On a un truc du meme style. Je suis alle un peu vite, mais on pose
sin \beta = \frac{D}{X}, ou D est le demi cote du carre, et
on se retrouve avec quelque chose comme
(2-\beta)cos^2\beta + cos\beta +2\beta - 2 = 0

La question qui m'interesse est de savoir si M.Seguin, arrivant dans le pre avec un rouleau de corde et un paquet de piquets, peut determiner la longueur de corde a utiliser sans calculette ni decametre ?


Posted by: Patastronch

Voila l'une des plus belles énigmes que j'ai rencontré dans ma carriere d'amateur d'enigme.

Pas besoin de décametre, et la calculatrice est nécessaire pour une partie de la solution (pour des calculs mineurs).

Je peux également vous dire que les connaissances mathématiques necessaires a la résolution de cette énigme ne dépassent pas la terminale S et les équations sur lesquelles on tombe sont facile a résoudre (je dis ca car il est facile de tomber sur des systemes monstrueux d'equations ou de tomber dans le piege de la surface d'une lunule)

Bon courage.










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