Enigme des Boules colorées

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Posted by: _-Gaara-_

Bonjour à tous ^^

Bon voilà une énigme curieuse : de combien de façons différentes peut on colorier 50 boules avec 10 couleurs différentes ?


Je n'ai pas la réponse lol dsl




Si quelqu'un trouve peut-il expliquer ?? Merciiiiiiiiii




Posted by: emdro

Bonjour,

peux-tu les colorier toutes en bleu par exemple?


Posted by: Flodelarab

Sois honnête, avoue que c'est un exercice de ton prof à faire pour la rentrée.
Ce n'est pas une énigme en tout cas.
Respecte les catégories du forum s'il te plait.
C'est du dénombrement digne du lycée.
Tu ne gagnes rien à énerver les personnes du forum.


Posted by: raito123

Non Flodelarab ce n'est pas ça!

on a fais tout les deux cette exo et là on veut verifier


c'est tout!!!


Posted by: _-Gaara-_

Citation:
Posté par Flodelarab
Sois honnête, avoue que c'est un exercice de ton prof à faire pour la rentrée.
Ce n'est pas une énigme en tout cas.
Respecte les catégories du forum s'il te plait.
C'est du dénombrement digne du lycée.
Tu ne gagnes rien à énerver les personnes du forum.


lol ce n'est pas un truc que mon prof m'a donné ^^ je l'aurais posté dans la section lycée dans ce cas là.


de plus c'était pour faire plaisir à un ami donc voilà quoi.

Désolé si j'ai énervé qui que ce soit, et si c'est le cas qu'on me le dise




Posted by: Flodelarab

La prochaine fois, ayez le réflexe: dénombrement => forum lycée.

Ici, il s'agit simplement de la technique des séparateurs.

Je considère 50 boules indiscernables avant d'être peintes. Le but n'est pas tellement de savoir quelle sera la couleur de chaque boule (car nous aurions des résultats identiques en intervertissant 2 boules de la même couleur) mais bien de savoir combien il y aura de boules de chaque couleur.

Combien de groupes ?
On veut 10 groupes.
Cela implique combien de séparateurs ?
Il faut 9 séparateurs.
Combien de boules ?
50
Combien d'interstices possibles entre les boules ?
51 car on compte les extrémités aussi !
Combien de dispositions ?
On choisit pour chaque séparateur sa position parmi les interstices possibles

soit .... colorations possibles

Évidemment, le groupe 1 a la couleur 1, le groupe 2 a la couleur 2, etc ....


Posted by: raito123

Zut!!
j'ai pensé que c'était \large 50^{10}


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par raito123
Zut!!
j'ai pensé que c'étais \large 50^{10}

Autant 10^{50}, je comprends la source, autant 50^{10} est obscure pour moi.
Dans le premier cas, on choisit 50 fois 1 couleur parmi 10.
Dans le second cas, on choisit 10 fois 1 boule parmi 50 ....

La première n'est pas fausse si les 50 boules sont identifiées et discernées.
Mais sinon, ya encore un problème.


Ceci dit, je doute de mon raisonnement aussi. J'ai des cas redondants encore.


Posted by: Flodelarab

Si toutes les boules sont discernables, la réponse est 10^50
Sinon, si toutes les couleurs sont présentes obligatoirement, la réponse est 3$ C_{49}^9
Sinon, si toutes les couleurs n'ont pas obligation de présence .... j'y réfléchis.


Posted by: raito123

J'ai poser le probléme d'une autre maniére :
j'ai pris 50 cases et dans chaque case on peut mettre 10 boules !
c'est un peu prés le même probléme ,non?


Posted by: raito123

Citation:
Posté par Flodelarab
Si toutes les boules sont discernables, la réponse est 10^50
Sinon, si toutes les couleurs sont présentes obligatoirement, la réponse est 3$ C_{49}^9
Sinon, si toutes les couleurs n'ont pas obligation de présence .... j'y réfléchis.

Un ami m'avait dit qu'il faut calculer le nombre de surjection de {1,2,...,50} vers {1,2,....,10} ??


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par raito123
J'ai poser le probléme d'une autre maniére :
j'ai pris 50 cases et dans chaque case on peut mettre 10 boules !
c'est un peu prés le même probléme ,non?

Euh .... Je ne te suis pas du tout.
Tu parles de 10 boules alors qu'il y a 10 couleurs.
Chaque boule n'a qu'une couleur je suppose.


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par raito123
Un ami m'avait dit qu'il faut calculer le nombre de surjection de {1,2,...,50} vers {1,2,....,10} ??

Non. Car les couples (23;2) et (37;1) pris dans le produit cartésien des 2 ensembles, donnent la même coloration que (37;2) et (23;1)

En clair, tu discernes les boules


Posted by: alben

Citation:
Posté par Flodelarab
Si toutes les boules sont discernables, la réponse est 10^50
Sinon, si toutes les couleurs sont présentes obligatoirement, la réponse est 3$ C_{49}^9
Sinon, si toutes les couleurs n'ont pas obligation de présence .... j'y réfléchis.

oui, ton raisonnement avec les séparateurs était correct, c'est bien
3$ C_{59}^9 lorsqu'il n'y a pas de présence obligatoire. Tu peux d'ailleurs le déduire du précédent en prenant 60 billes et en en ôtant une de chaque couleur


Posted by: thekingoflove

c'es 50 puissance 10 si on considére que les dix boul peuve se colorier avec une seul colleur

exmple réduit : donner tout les nembre possible de trois chifre qu'on peut former avec les chifre suivant123 ?

combines ils sont ?9


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par alben
oui, ton raisonnement avec les séparateurs était correct, c'est bien
3$ C_{59}^9 lorsqu'il n'y a pas de présence obligatoire. Tu peux d'ailleurs le déduire du précédent en prenant 60 billes et en en ôtant une de chaque couleur

Yes ! Bien joué.


Il reste un dernier cas: boules discernées et couleurs obligatoirement présentes:


Posted by: alben

Citation:
Posté par Flodelarab
Il reste un dernier cas: boules discernées et couleurs obligatoirement présentes:

Là c'est vraiment le nombre de surjections (cf nbres de Bell et Stirling 2ième espèce)


Posted by: raito123

Citation:
Posté par Flodelarab
Euh .... Je ne te suis pas du tout.
Tu parles de 10 boules alors qu'il y a 10 couleurs.
Chaque boule n'a qu'une couleur je suppose.

Oui je sais mais moi j'ai posé le probléme differemment :
à la place des boules on met des cases.
et à la place des couleurs on met des boules.
donc rien n'a changé seulement les connotations :
et comme chaque boules admet 10 couleurs , alors on obtient : chaque case peut contenir 10 couleur!
donc rien n'a changer je pense!!!!!
donc |10|-|10|-|10|-|..50 fois.|-|10|10|10| (|| represente une case )
Donc on a le nombres des permutations possible c'est \large 50^{10}


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par raito123
Oui je sais mais moi j'ai posé le probléme differemment :
à la place des boules on met des cases. chaque case peut contenir 10 couleur!

Pardon mais je crois que c'est toujours incohérent.

Tu a pris le parti de dire que les cases (anciennement boules) peuvent être bariolées. Soit.
Mais dans ce cas là, chaque couleur est ou n'est pas dans la case. autrement dit 2^10 bariolages possibles.
Répété 50 fois. Autrement dit (2^10)^50 en tout.

Tu obtiens donc 2^500 bariolages possibles en tout. Je ne vois toujours pas où est ton 50^10


Posted by: raito123

Hm....!!
La faute que j'ai commise c'est de ne pas faire attention dsl!!!
je pense que j'ai voulu dire \large 10^{50}! Comme tu m'avais dit au début !!!Oh lalala .
merci les idées sont à leur place mtn!!


Posted by: raito123

En tout cas je ne comprend pas le \large C^9_{49} ???


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par raito123
En tout cas je ne comprend pas le \large C^9_{49} ???

Ben c'est le coup des séparateurs.
Des boules :
0000000000000000000000000000000000000000000000
Des boules avec 9 séparateurs:
00000I00000000I0000000I0000I0I0000000I0000I0000I00 0I000
On tire 9 positions de séparateurs parmi 49 possibles indépendemment de l'ordre et sans répétitions. C'est donc une combinaison. etc, etc...


Posted by: _-Gaara-_

Salut,

désolé de faire remonter ce topic mais j'ai trouvé un truc intéressant :

Le lemme de Burnside
http://bayledes.free.fr/denombrement/denombrement.pdf

voilà c'est super utile :)










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