Mathématiques - Enigme des 3 2

Enigme des 3 2
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: Imod

Tout le monde se souvient de l'énigme des 4 4 ressortie récemment , voici sur le même principe celle des 3 2 .

Problème corrigé :

Montrer que tous les entiers peuvent s'écrire (se calculer ) en utilisant uniquement le nombre 2 trois fois et des opérations ou fonctions élémentaires .

Imod

Posted by: _-Gaara-_

Salut Imod,

Comment écrire tous les entiers, tu veux dire par là caractériser tous les élements de N en utilisant trois fois le chiffre 2 ? On peut faire ce que l'on veut ? désolé je viens de faire de la philo donc 2 de tension

Posted by: Joker62

Oh encore un anti-philo !
Anima va pas être content !

Pour en savoir plus sur cette énigme
voici la version 4-4

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=8388

Posted by: Imod

Citation:

Posté par _-Gaara-_

Comment écrire tous les entiers, tu veux dire par là caractériser tous les élements de N en utilisant trois fois le chiffre 2 ? On peut faire ce que l'on veut ? désolé je viens de faire de la philo donc 2 de tension

Exemples:

0=(2-2)X2
1=2^(2-2)
2=2+2-2
3=2:2+2
...
Mais on peut aussi :

$0=2\times \sin(2-2)$
$1=e^{2\sqrt{2-2}}$
$2=2^{ln_2(2)}$
...

Imod

Posted by: _-Gaara-_

AAAH okiii bon alors je me lances

$0 = (2-2)x2$
$1 = 2^{2-2}$
$2 = 2^2 -2$
$3 = \fr{2}{2} +2$
$4 = \sqrt{2+2} +2$
5 = ? oO

héhé

Posted by: Imod

Citation:

Posté par _-Gaara-_

AAAH okiii bon alors je me lances

$0 = (2-2)x2$
$1 = 2^{2-2}$
$2 = 2^2 -2$
$3 = \fr{2}{2} +2$
$4 = \sqrt{2+2} +2$

Je rappelle que la question est de montrer que c'est possible pour tous les entiers , bon courage

Imod

Posted by: _-Gaara-_

Mdr ! à pars le faire comme çà je ne vois pas comment le prouver..

VIVE LA méthode BOURRIN

(un indice ?? ^^

)

O.O tous les entiers ?

Il doit y avoir une méthode

Posted by: alben

Citation:

Posté par Imod

Montrer que l'on peut écrire tous les entiers en utilisant exactement 3 fois le nombre 2 , sont autorisées toutes les opérations et fonctions usuelles .

Ca ressemble à un problème de sémantique :
1 il n'est pas imposé de se limiter au nombre 2 (par ex 103=97+2+2+2 n'utilise que trois fois le nombre 2)
2 il s'agit du nombre et non du chiffre 2. par exemple 22228=22222+2+2+2

Posted by: Imod

Citation:

Posté par alben

Il n'y a pas de piège au niveau de l'écriture , j'ai simplement voulu ne pas être trop lourd au niveau de la formulation .

Je reprend ( et je corrige dans le message initial ) :

Montrer que tous les entiers peuvent s'écrire (se calculer ) en utilisant uniquement le nombre 2 trois fois et des opérations ou fonctions élémentaires .

Les quelques exemples donnés montrent ( j'espère ) les types de calculs autorisés . La juxtaposition décimale 22 peut-être considérée comme une opération élémentaire .

Imod

Posted by: scelerat

Une fonction comme ceiling(coth()) est-elle une fonction courante ?

Posted by: Imod

Citation:

Posté par scelerat

Une fonction comme ceiling(coth()) est-elle une fonction courante ?

Je ne connais pas ceiling mais coth est admise . La fontion scelerat "sce" définie par : sce(222)=0 et sce[sce(x)]=sce(x)+1 , n'est pas une fonction courante

Imod

Edit : la fonction scelerat est en fait une fonction "successeur" qu'on ne considère pas comme une fonction usuelle .

Posted by: bitonio

Tout le problème est bien qu'il faut utiliser des fonctions élémentaires... Bon je continue à chercher.

Sinon on peut toujours faire un $fofofo...ofofof(2)$ avec f=x+exp(2-2) mais ça va pas être homologué par Barry White

Posted by: Imod

Citation:

Posté par bitonio

Tout le problème est bien qu'il faut utiliser des fonctions élémentaires... Bon je continue à chercher.

Sinon on peut toujours faire un $fofofo...ofofof(2)$ avec f=x+exp(2-2) mais ça va pas être homologué par Barry White

Homologation refusée , f n'est pas usuelle et si on détaille :
3=(2+exp(2-2))+exp(2-2) , le compte n'est pas bon

Imod

Posted by: alben

Bonjour,
C'est intéressant. Puisqu'il n'y a pas de piège et qu'il n'est pas possible d'exhiber une formule pour tous les entiers (exhaustivement), il faut trouver une méthode (et pas une fonction d'un n qui peut être truffé de 2) qui permette d'établir l'égalité pour n'importe quel entier.
C'est donc finalement un algorithme qu'il faut trouver
J'avais pensé à mettre à contribution un nombre comme celui de Champernowne

Posted by: scelerat

Citation:

Posté par Imod

Je ne connais pas ceiling mais coth est admise .

Ceiling est l'entier immediatement superieur ou egal.
J'en conclus que "partie entiere" = floor n'est pas admise non plus ? Et, hardiment, que les fonctions usuelles ne peuvent etre utilisees que la ou elles prennent des valeurs entieres ?

Posted by: Imod

Citation:

Posté par scelerat

Et, hardiment, que les fonctions usuelles ne peuvent etre utilisees que la ou elles prennent des valeurs entieres ?

Elle peuvent prendre des valeurs intermédiaires non entières tant que le résultat final est entier , par exemple $2\times (\sqrt{2})^2$ est accepté .

Imod

Posted by: _-Gaara-_

Heu alors une réponse pour le 5 ?

Posted by: Patastronch

Le changement de base est autorisé ?

Par exemple si je me place dans une écriture en base 5 :

10 en base 10 vaut : 20 en base 5, qu'on ecrit $\overline{(2)(0)}$ ou encore $\overline{(2)(2[2])}$ .

Si la réponse est oui alors jepense pouvoir affirmer qu'il est possible d'écrire tous les entiers avec 3 2 :p

Posted by: Imod

Citation:

Posté par Patastronch

Le changement de base est autorisé ?

Par exemple si je me place dans une écriture en base 5 :

10 en base 10 vaut : 20 en base 5, qu'on ecrit $\overline{(2)(0)}$ ou encore $\overline{(2)(2[2])}$ .

Si la réponse est oui alors jepense pouvoir affirmer qu'il est possible d'écrire tous les entiers avec 3 2 :p

Il n'y a pas de changement de base dans la solution que j'ai mais tu peux donner ta solution par curiosité

Imod

Posted by: scelerat

Citation:

Posté par _-Gaara-_

Heu alors une réponse pour le 5 ?

Ca c'est facile, mais ca ne nous mene pas a l'infini...
(2/.2)/2

Posted by: Imod

Citation:

Posté par _-Gaara-_

Heu alors une réponse pour le 5 ?

J'en ai une comme pour 6 , 7 , ... , mais si je te la donne je casse l'énigme ( je regarde si j'en trouve une autre ) !

Imod

Posted by: bruce.ml

Ca sent l'arnaque tout ça ...

Posted by: Imod

Citation:

Posté par bruce.ml

Ca sent l'arnaque tout ça ...

Il n'y a aucune malhonneté ou tour de passe-passe , il faut utiliser une fonction qui exploite au mieux la valeur "2" .

Imod

Posted by: _-Gaara-_

$6 = e^{2 \times ln(2)} +2$
7 =

xD !

(hum les chiffres impairs posent problème)

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par scelerat

Ca c'est facile, mais ca ne nous mene pas a l'infini...
(2/.2)/2

Merci scelerat mais c'est quoi le petit point ? oO

Posted by: Imod

Citation:

Posté par _-Gaara-_

$6 = e^{2 \times ln(2)} +2$

Tu es sûr ????
Moi j'avais trouvé 2+2+2 mais ça fait pas très sérieux

Imod

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par Imod

Tu es sûr ????
Moi j'avais trouvé 2+2+2 mais ça fait pas très sérieux

Imod

je voulais mettre 6 = 2^2 +2 mdrrrrrrrrr mais c'est pareil LOL !

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par Imod

Il n'y a pas de changement de base dans la solution que j'ai mais tu peux donner ta solution par curiosité

Imod

Pour n compris entre 0 et 5 c'est prouvé au cas par cas (par symétrie pour n compris entre -5 et 0)
Pour tout n>5 (par symétrie, pour tout n<-5):
Si le nombre n est paire alors il suffit de l'ecrire 20 (de la meme maniere que dans mon exemple plus haut) dans la base n/2.
Si le nombre est impaire alors il suffit de l'écrire 21 dans la base (n-1)/2. Pour écrire 21 avec seulement trois 2, on procède comme pour le 20 mais en remplacant le 2[2] par 2/2

Bon je vous l'accorde c'est un peu du bidouillage.

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par _-Gaara-_

Merci scelerat mais c'est quoi le petit point ? oO

.2 = 0.2 en notation anglaise.

Posted by: scelerat

Citation:

Posté par _-Gaara-_

Merci scelerat mais c'est quoi le petit point ? oO

Le point decimal, a l'anglaise. Dans le probleme des 4, c'etait permis d'omettre le zero avant le point decimal.

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par Patastronch

.2 = 0.2 en notation anglaise.

Ah d'accord! Merci beaucoup :)

donc 7 = 2 + (1/.2) + f(2)

avec f(x) = x - 2 >.< (on a le droit de faire çà ?

)

EDIT: Merci aussi à scelerat :)

Posted by: Imod

Citation:

Posté par Patastronch

On va interdire l'écriture en base quelconque

Imod

Posted by: scelerat

Citation:

Posté par _-Gaara-_

Ah d'accord! Merci beaucoup :)

donc 7 = 2 + (1/.2) + f(2)

avec f(x) = x - 2 >.< (on a le droit de faire çà ?

)

EDIT: Merci aussi à scelerat :)

Je laisse Imod repondre pour le f(2), mais pour 7, je dirais 2 + exp (-2Log( $\sqrt{.2}$ ))

Posted by: AL-kashi23

Cette énigme va durer longtemps, très longtemps, très très longtemps si vous les faites tous un par un .... longtemps, très longtemps !

Posted by: Imod

Citation:

Posté par AL-kashi23

Cette énigme va durer longtemps, très longtemps, très très longtemps si vous les faites tous un par un .... longtemps, très longtemps !

Une petite idée pour ceux qui n'ont pas l'éternité devant eux , on peut utiliser $log_2(x)$ !

Imod

Posted by: bitonio

$\frac {ln(2^x)}{ln(2)}$ donne bien x mais je présume que le 2^x compte comme x fois 2 ?

Posted by: Imod

Citation:

Posté par bitonio

$\frac {ln(2^x)}{ln(2)}$ donne bien x mais je présume que le 2^x compte comme x fois 2 ?

A moins que tu ne m'expliques comment tu écris $2^3$ avec un seul 2 et sans 3 !

Imod

Posted by: bitonio

Une petite question: si on a le droit aux logs, on devrait avoir le droit à 10^ ?

Posted by: Imod

Citation:

Posté par bitonio

Une petite question: si on a le droit aux logs, on devrait avoir le droit à 10^ ?

Non , c'est un peu artificiel mais c'est la règle !

Imod

Posted by: scelerat

Citation:

Posté par AL-kashi23

Cette énigme va durer longtemps, très longtemps, très très longtemps si vous les faites tous un par un .... longtemps, très longtemps !

Non non, je suis arrive au bout : 2/(2-2)

Posted by: scelerat

Citation:

Posté par Imod

Une petite idée pour ceux qui n'ont pas l'éternité devant eux , on peut utiliser $log_2(x)$ !

Imod

Mais je suppose que le 2 de $log_2$ compte pour 1 ?

Posted by: Imod

Citation:

Posté par scelerat

Non non, je suis arrive au bout : 2/(2-2)

Y'a plus qu'à relier les deux bouts

( ça me rappelle un sketch de Devos )

Imod

Posted by: Imod

Citation:

Posté par scelerat

Mais je suppose que le 2 de $log_2$ compte pour 1 ?

Yes sir !

Imod

Posted by: Imod

Le problème est vraiment simple , Von Neumann l'aurait inventé pour s'occuper lors d'une conférence particulièrement ennuyeuse

Une idée quand même car le résultat est surprenant mais en fin de compte assez artificiel si on tient compte du fait que $\sqrt{x}$ n'est qu'un raccourci pour $\sqrt[2]{x}$ :

Calculer : $\log_2(\log_2(\sqrt{2}))$

Imod

Posted by: alben

oui, c'est un peu décevant.

Posted by: Imod

La réponse tout de même :

$n=-log_2(log_2(\sqrt{\sqrt{...\sqrt{2}}}))$ avec n radicaux

Imod

Posted by: bruce.ml

Mouais je suis pas trop d'accord, la racine utilise un deux ... Tous ces exos sont un peu bidon, tout dépend de ce que tu appelles une fonction usuelle. Pour moi faire des opérations avec trois 2 c'est faire comme au compte est bon !

Posted by: Imod

Citation:

Posté par bruce.ml

Mouais je suis pas trop d'accord, la racine utilise un deux ... Tous ces exos sont un peu bidon, tout dépend de ce que tu appelles une fonction usuelle. Pour moi faire des opérations avec trois 2 c'est faire comme au compte est bon !

La règle était claire au départ et la notation usuelle de la racine carré ne contient pas de 2 ! Mais c'est vrai que le résultat est décevant

Imod

Posted by: Patastronch

Moi je trouve ca malin. A la fois Von Neumann c'est un peu mon idole :)

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par Imod

La réponse tout de même :

$n=-log_2(log_2(\sqrt{\sqrt{...\sqrt{2}}}))$ avec n radicaux

Imod

xD Est ce que quelqu'un peut m'expliquer ce qu'est çà $\log_2$ ?

Merci :)

Posted by: lapras

salut,
$log_2(x) = \frac{ln(x)}{ln(2)}$

Posted by: bruce.ml

Citation:

Posté par _-Gaara-_

xD Est ce que quelqu'un peut m'expliquer ce qu'est çà $\log_2$ ?

Merci :)

Ce qu'a dit Lapras est exact, néanmoins je trouve cela plus clair de dire que $log_2$ est la fonction réciproque de $x \mapsto 2^x$ définie de IR dans IR+.
En gros, log2(x) est le nombre de chiffres de x dans son écriture en base 2 !
$log_2(1) = 0\\ log_2(2) = 1 \\ log_2(4) = 2 \\ log_2(8)=3\\ ... \\log_2(2^n) = n$

Posted by: Patastronch

dites lui surtout que $\log_2 (2) = -\log_2 (\frac 12)$ et que $\log_2 (a\times b) = \log_2 (a) + \log_2 (b)$ . Sinon il risque pas de comprendre le calcul . Donc le premier log permet de transformer le 2 racine carré multiples en une puissance de 1/2 et le second permet de sommer n termes de $-\log_2 (\frac 12)$ en gardant en tete que $\log_2(\frac 12)=-1$