Mathématiques - Endomorphismes

Endomorphismes
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Posted by: ericsteph

Salutations,

je bloque sur une question, qui me parait simple,

trouver les endomorphismes de E (un e v de dimension n) qui verifient

f°f= IdE

Posted by: Joker62

Un Polynôme annulateur est P(X) = X^2 - 1 = (X-1)(X+1)
Distinction de cas.
Après le reste, ça se trouve dans le cours.

Posted by: ericsteph

Pardon? polynome annulateur, d'un endomorphisme, j'ai jamais entendu parler de ca, est-ce que tu peux me donner l'idée générale?!

Posted by: ThSQ

Je pense qu'il veut dire que ton endo est diagonalisable et que le reste en découle

Posted by: sclormu

Si tu ne sais pas ce que veut dire polynôme annulateur ni endomorphisme diagonalisable, tu peux toujours essayer à la main de traiter le cas n=2. Et si c'est trop dur le cas n=1.

Posted by: yos

Tu peux montrer directement que $E=ker(f-Id)\oplus ker(f+Id)$ . Et en déduire la nature géométrique de f.

Posted by: ericsteph

euh, je suis un peu bloqué et confus,

E= ker(f- iD) + ker(f + id)????????? deja comment montrer ca?!

de mon expression, jai f² - id= 0 c a d (f - id) (f+id)=0 puis?!

et comment deduire la nature geometrique?!

[ je ne me interessé" qu'à la diagonalisation des matrice, pour les endomorphismes, est-ce les memes procédés?!]

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par ericsteph

E= ker(f- iD) + ker(f + id)

C'est le lemme des noyaux : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_des_noyaux

Posted by: nuage

Salut,
une autre approche :
Les solutions sont ce que l'on appelle des symétries.

Tu considères les éléments de E tels que f(x)=x. Par exemple f(0)=0.
Il est assez facile de montrer qu'ils forment un sev F de E.

Ensuite tu considères les éléments de E tels que f(x)=-x. Par exemple f(0)=-0.
Il est assez facile de montrer qu'ils forment un sev G de E.

Il ne reste plus qu'a voir que F et G sont supplémentaires.
On peut par exemple calculer f(x-f(x))

Posted by: ericsteph

oui, j'ai compris votre approche,

bon c'est que, f(x)= x, et f(x)= -x, verifient les relations, mais est-ce qu'il n'ya pas d'autres, endomorphismes, ?! comment peut on veirfier que ces duex la sont les seuls?!

[ merci pour le lemme des noyaux, ca eclaircit les choses, mais c'est koi l'interpretation geometrique, SVP]

Posted by: yos

Citation:

Posté par yos

montrer directement que $E=ker(f-Id)\oplus ker(f+Id)$ .

Si tu ne veux pas utiliser un théorème que tu connais pas.
La somme vient de l'égalité $x=\frac12[x+f(x)]+\frac12[x-f(x)]$ .
Le fait qu'elle est directe vient de l'intersection : $x\in ker(f-Id)\cap ker(f+Id)$ entraîne...

Posted by: ericsteph

oui cette idée me convient, mais c'est quoi l'interpretation géometrique?!

Posted by: nuage

Pour l'interprétation géométrique :
On a 2 sous espaces supplémentaires de E. Disons F et G.
Tout élément x de E s'écrit de façon unique sous la forme x=y+z avec y dans F et z dans G (y en a pas (de danger)).
La symétrie s par rapport à F parallèlement à G associe à x= y+z le vecteur s(x)=y-z.
Et tous les automorphismes de E vérifiant fof=Id sont de cette forme.

Posted by: ericsteph

Pardon, j'ai pas compris la fin, les automorphismes, f°f= Id, sont de la forme s(x) = y - z?!

Posted by: Antho07

Montre dans un premier temps que:

fof=Id equivaut à

$E=ker(f-IdE) \oplus ker(f+IdE)$

(des pistes ont ete propose dans les post precedent pour ceci)

Apres si on note
$F=ker(f-IdE)$
$G=ker(f+IdE)$

chaque élement x de E se décompose de maniere unique comme

x=y+z avec y dans F et z dans G

comme y est dans F, (f-IdE)(y)=0 <=> f(y)-y=0 <=> f(y)=y
comme z est dans G, (f+IdE)(z)=0 <=> f(z)+z=0 <=> f(z)=-z

par consequent

f(x)=f(y+z)=y-z.

Donc si on prend une base de F et une base de G. L'union des 2 forment une base de E.
et la matrice de f dans cette base est
$\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&\cdots&\cdots&0 \\ 0&\ddots&0&\cdots&\cdots&\vdots \\ \vdots&\ddots&1&0&\cdots&\vdots \\ 0&\ddots&0&-1&0&0 \\ \vdots&\ddots&0&\ddots&\ddots&\vdots \\ 0&\cdots&\cdots&\cdots&0&-1 \end{pmatrix} $

Bon jai foirer ma matrice....

En gros tu obtient la matrice bloc

$\begin{pmatrix} Ip&0\\ 0&-Iq \end{pmatrix} $

ou p est la dimension de F
q est la dimension de G

Cette matrice est une symetrie par rapport a F (les vecteur inchangés) parralement à G(les vecteurs qui chagent de signe)

je sais pas si c clair??

Posted by: ericsteph

Mon dieu, c hyper clair miantenant, merci anton!!!!!