Mathématiques - Endomorphismes nilpotents

Endomorphismes nilpotents
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Posted by: pouik

Bonjour,
J'ai quelques difficultés sur certains points de cet exercice, pourriez-vous m'aider à les surmonter ? Merci par avance.

Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension $n$ , soit $u \in L(E)$ un endomorphisme nilpotent (il existe un entier natuel $k$ tel que $u^k = 0$ ).
1. Soit $x$ un vecteur de $E$ . Soit $q$ le plus petit entier naturel tel que $u^q(x) = 0$ (justifier son existence). Montrer que la famille $(x, u(x), ..., u^{q-1}(x))$ est libre. En déduire que $u^n = 0$ .
2. On suppose de plus que $u^{n-1}$ différent de $0$ (justifier l'existence de tels endomorphismes). Montrer que l'endomorphisme $u$ n'admet pas de racine carrée (c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'endomorphisme $f$ de $E$ tel que $f^2 = u$ ).

Posted by: pouik

Pour l'existence de $q$ est-ce que si je dis que :
$\{ k \in N | u^k = 0 \}$ est un ensemble non vide et minorée par $0$ donc il admet une borne inférieure qui est atteinte puisqu'on manipule des entiers donc il existe un plus petit entier $q = inf(k)$ tel que $u^q = 0$ .

est-ce correct ??

Posted by: Joker62

Pas besoin de minoration
On est dans N
Toute partie non vide possède un plus petit élément.

Posted by: pouik

Ok.
Ensuite, supposons que :
$\lambda-0 x + \lambda_1 u(x) + ... + \lambda_{q-1} u^{q-1}(x) = 0$
en composant par $u^{q-1}$ qui est différent de $0$ car $q$ est le plus petit entier tel que $u^q=0$ , donc a fortioiri on a bien $u^{q-1}$ différent de $0$ .

donc : $\lambda_0 u^{q-1}(x) = 0$ soit $\lambda_0 = 0$

on compose par $u^{q-2}$ et on trouve que $\lambda_1 = 0$ ... donc la famille est libre.

Est-ce correct ??

Par contre je ne vois pas comment déduire de ceci que $u^n = 0$

Posted by: yos

C'est correct.
Après si $u^n\neq 0,$ tu aurais q>n et donc un peu trop d'éléments ds une famille libre.

Posted by: pouik

D'accord.
Pourriez-vous m'aider pour la 2. car je ne vois pas comment procéder.

Posted by: yos

Par l'absurde : en appliquant le résultat de la 1 à f.

Posted by: pouik

Citation:

Posté par yos

Par l'absurde : en appliquant le résultat de la 1 à f.

désolé mais je ne comprends pas bien en quoi consiste ce que vous me proposez.

Posted by: yos

On suppose que $u=f^2$ .
On a donc $0=u^n=f^{2n}$ donc f est nilpotente, donc $f^n=0$ , donc
- si n est pair, $u^{n/2}=0$ impossible.
- si n est impair, $u^{(n+1)/2}=0$ impossible.

Posted by: pouik

Citation:

Posté par yos

On a donc $0=u^n=f^{2n}$ donc f est nilpotente, donc $f^n=0$ ,

vraiment désolé mais je ne comprends pas en quoi le fait que $f^{2n} = 0$ implique que $f^n = 0$ .

Sinon comment justifie t-on qu'il existe des endomorphismes tels que $u^{n-1}(x)$ différent de 0.

Merci d'avance pour votre aide.

Posted by: yos

Citation:

Posté par pouik

vraiment désolé mais je ne comprends pas en quoi le fait que $f^{2n} = 0$ implique que $f^n = 0$

Mais tu l'as prouvé dans la question précédente : dés qu'un endo u est nilpotent, on a $u^n=0$ . Ici il s'appelle f. Ca gène pas.

Citation:

Posté par pouik

Sinon comment justifie t-on qu'il existe des endomorphismes tels que $u^{n-1}(x)$ différent de 0.

On en exhibe un sous forme matricielle : des 0 partout sauf sur la surdiagonale où on met des 1.

Posted by: pouik

d'accord mais pour la matrice quelle taille a t elle ? et la surdiagonale, est-ce que ca signifie diagonale + triangle supérieur ?

Posted by: yos

la surdiagonale a pour équation j=i+1.
La taille de la matrice est n bien sûr.

Posted by: pouik

merci pour votre aide