Mathématiques - endomorphismes nilpotents

endomorphismes nilpotents
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Posted by: othoo

bonjour j'ai une question que je n'arrive pas à demontrer même si elle semble évidente:si E est un espace vectoriel d dimension finie n , et f un endomorphime de E .on suppose qu'il existe un entier k tel que f^k=0
montrer que f^n=0 merci

Posted by: sandrine_guillerme

Bonjour,
Nous souhaitons que vous ayez d'abord une idée .. c'est tout simple ..
indice: pense aux familles .
Bon courage

Posted by: jose_latino

Tu peux trouver une idée semblable ici . Suppose que $f^n\neq 0$ alors il existe $x$ tel que $f^n x\neq 0$ , suis l'idée du lien.

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par jose_latino

Tu peux trouver une idée semblable ici . Suppose que $f^n\neq 0$ alors il existe $x$ tel que $f^n x\neq 0$ , suivi l'idée du lien.

Je ne suis pas tout à fais d'accord avec toi dans la mesure ou on multiplie par x .. je serais toi je suggérerais de supposer que la famille (T1....Tk) liée et on trouve l'indice de nilpotence en prouvant a un certain k elle serais libre .. on se ramenrais donc a calculer le polynome minimal koi.

Posted by: jose_latino

À mon avis, c'est pas nécessaire utiliser une chose comme le polynôme minimal. As tu essaié la solution que je proposse?. C'est pas nécessaire de parler de l'indice de nilpotence pour cet exercice aussi.

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par jose_latino

À mon avis, c'est pas nécessaire utiliser une chose comme le polynôme minimal. As tu essaié la solution que je proposse?. C'est pas nécessaire de parler du indice de nilpotence pour cet exercice aussi.

Ah yes !

tu a raison .. je viens de voir ..
mais essais mon idée .. ça saute aux yeux .. on pourrais naïvement être conduit au calcul matriciel dans la pratique si tu vois bien ce que je veux dire

Posted by: jose_latino

Je suis intéressé à ton idée, tu dis que $\{T,...,T^{q-1}\}$ serait libre, où l'indice de nilpotence est $q$ , je sais que le polynôme minimal de $T$ est $p(x)=x^q$ , je ne comprends pas qu'est-ce que tu veux dire?.

Posted by: sandrine_guillerme

c'est tout ! quitte à supposer une matrice appartenant a l'endomorphisme donc A^n verifiera la relation souhaité.. Oups on aura tout souflé au jeune homme.. à lui de jouer.. quoique je lui conseille de suivre ce que tu a proposer ..

Posted by: Alpha

Eh bien oui si f^k = 0 le polynome minimal de f divise X^k, donc il est de la forme X^p avec p divisant k, mais le polynôme minimal est de degré inférieur ou égal à n... Je laisse la conclusion à celui qui a posé la question...

A+

Posted by: othoo

bonjour, voici la méthode que j'ai essayé mais elle n'a rien donné
si n>k f^n=f^(n-k)of^k=0
si n<k par l'absurde
on suppose qu'il existe xappartenant à E tel que
(f^n)(x)est différent de 0 alors pour tout k entre 0 et n (f^k)(x) est différent de o
ce que je veux montrer c'et que la famille x,f(x),....,f^(x) est libre dans un
espace vectoriel de dimension n ce qui est absurde
soit a(0),......a(n) des réels tels que
a(0)x+.......a(n)(f^n)(x)=0
par l'absurde je suppose que les coeficients sont non tous nuls
alors I=l'ensemble des entiers K entre 0 et n tels que a(k) est different de0
est non vide donc admet un petit élement p
donc a(p)(f^p)(x)+...........a(n)(f^n)(x)=0
je veux monter que a(p)=0 mais j'arrive pas merci

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

c'est tout ! quitte à supposer une matrice appartenant a l'endomorphisme donc A^n verifiera la relation souhaité.. Oups on aura tout souflé au jeune homme.. à lui de jouer.. quoique je lui conseille de suivre ce que tu a proposer ..

Citation:

Posté par Alpha

Eh bien oui si f^k = 0 le polynome minimal de f divise X^k, donc il est de la forme X^p avec p divisant k, mais le polynôme minimal est de degré inférieur ou égal à n... Je laisse la conclusion à celui qui a posé la question...

A+

suis ce chemin à toi de conclure!
A+

Posted by: jose_latino

Citation:

Posté par othoo

bonjour, voici la méthode que j'ai essayé mais elle n'a rien donné
si n>k f^n=f^(n-k)of^k=0
si n<k par l'absurde
on suppose qu'il existe xappartenant à E tel que
(f^n)(x)est différent de 0 alors pour tout k entre 0 et n (f^k)(x) est différent de o
ce que je veux montrer c'et que la famille x,f(x),....,f^(x) est libre dans un
espace vectoriel de dimension n ce qui est absurde
soit a(0),......a(n) des réels tels que
a(0)x+.......a(n)(f^n)(x)=0
par l'absurde je suppose que les coeficients sont non tous nuls
alors I=l'ensemble des entiers K entre 0 et n tels que a(k) est different de0
est non vide donc admet un petit élement p
donc a(p)(f^p)(x)+...........a(n)(f^n)(x)=0
je veux monter que a(p)=0 mais j'arrive pas merci

L'ensemble est $\{f(x),....,f^n(x)\}$ (sinon cet ensemble aurait n+1 éléments).
Utilise une autre lettre différente de k. On a qu'il existe $k$ tel que $f^k=0$ . On suppose que $n<k$ . La petite astuce est considérer le mineur $i$ tel que $f^i(x)=0$ , naturellement $n<i\leq k$ . Cette condition entraîne que $f^{i-1}(x)\neq 0$ . Alors si tu as:
$a_1f(x)+...+a_nf^n(x)=0$ . Qu'est-ce qui se passera si tu appliques $f^{i-2}$ à cette équation?. Je crois que tu arriveras. Bon courage!

Posted by: jose_latino

Une autre méthode: Si tu as qu'il existe $k$ tel que $f^k=0$ alors, soit $i$ le mineur nombre naturel tel que $f^i=0$ . Alors tu as que $f^{i-1}\neq 0$ . Comme avant prends un élément $x\in E$ tel que $f^{i-1}(x)\neq 0$ . C'est possible prouver que $\{x,f(x),....,f^{i-1}(x)\}$ est lineairement indépendant. Comme $\dim(E)=n$ , alors $i\leq n$ . Donc tu as déjà la réponse.

Les deux méthodes sont semblables mais ils ne sont pas égaux. J'espère que tu aies compris sinon tu peux nous demander avec confiance. À plus!

Posted by: othoo

bonsoir, j'ai une petite question un peu bête si on a f^(n)=0(avec f endomorphisme) est ce que cela veu dire que pour tout x de E a (f^n)(x)=0
ou bien il existe x tel que (f^n)(x)=0 merci

Posted by: sandrine_guillerme

Pour tout x de E

Posted by: othoo

est ce que le raisonement que j'ai fait est faux, vraiment j'ai pas compri la démonstration qui consiste à considérer un mineur....

Posted by: jose_latino

je parlerai de façon plus détaillé, (la deuxième méthode)
Par hypothèse, tu as qu'il existe $k\in\mathbb{N}$ tell que $f^k=0$ (c'est une équations entre fonctions, ça veut dire: $f^k(x)=0$ pour tout $x\in E$ ).
Voici le raisonement détaillé: Considère le sous-ensemble $S:=\{r\in\mathbb{N} / \, f^r=0\}$ de $\mathbb{N}$ . $S\neq\emptyset$ parce que quand même $k\in S$ . Tout sous-ensemble non vide de $\mathbb{N}$ posède un élément minimum (principle du bon ordre). Qu'est-ce que cela signifique?, ça signifique qu'il existe $i\in S$ tel que $i\leq r$ pour tout $r\in S$ . Tu prouver comme exercice le suivant:

Soit $R\subset\mathbb{N}$ . $i$ est l'élément minimun de $R$ entraîne que:

$i\in R$
$i=0$ ou $i-1\notin R$

j'ai utilisé ce résultat sans le dire. Mais à mon avis c'est un peu plus facil du croire intuitivement.

Alors, on a pris $i$ comme le minimum de $\{r\in\mathbb{N} / \, f^r=0\}$ . Justement, j'ai utilisé le résultat de l'exercice:

$i\in R$
$i=0$ ou $i-1\notin R$

ça veut dire que $f^i=0$ et $f^{i-1}\neq 0$ , après tu peux continuer la preuve. Contacte-moi s'il y a un autre doute. Bonne chance!

Posted by: othoo

j'ai pas compri pourquoi i-1<(ou égale)n implique f^n=0 j'ai du mal vraiment j'ai pas l'habitude d'utiliser des raisonnements pareil

Posted by: jose_latino

Je suis désolé, correction, il faut analyser $\{x,f(x),....,f^{i-1}(x)\}$ (pour cette deuxième méthode). J'ai fait la correction, relis s'il te plaît.

Posted by: othoo

dans la premiére démo que j'ai essayé de faire je voulais montrer qu'on a une famlle libre de n+1 élements dans un espace vectoriel de dimension n ce qui est absurde ...dans votre démonstration vous avez fait une raisonnement directe mais je ne vos pas pourquoi i<(ou égale à n) implique f^n=0

Posted by: jose_latino

Si $i\leq n$ alors

$i=n$ pas de problème.
$i<n$ alors $f^n=f^{n-i}\circ f^i=0$

Posted by: jose_latino

Citation:

Posté par othoo

dans la premiére démo que j'ai essayé de faire je voulais montrer qu'on a une famlle libre de n+1...

L'idée de la prémière méthode est supposer que $f^n\neq 0$ . (donc $f\neq 0$ ). Alors il existe $x\in E$ tel que $f^n(x)\neq 0$ , donc on va considérer l'ensemble $\{f(x),....,f^n(x)\}$ . Soit le mineur $j\in\mathbb{N}$ tel que $f^j(x)=0$ , alors $f^{j-1}(x)\neq 0$ et $j>n$ . Affirmation: $\{f(x),....,f^n(x)\}$ est une base de $E$ .
Si $a_1f(x)+...+a_nf^n(x)=0$ . On applique $f^{j-2}$ est on obtient $a_1f^{j-1}(x)=0$ , ça veut dire que $a_1=0$ , après on continue avec $f^{j-3}$ etc, jusqu'à $f^{j-(n+1)}$ ... Comme $\{f(x),....,f^n(x)\}$ est une base de $E$ , alors $Im(f)=E$ , donc $f$ est invertible. C'est une contradiction.

Posted by: Alpha

Salut, apparemment othoo, tu n'as pas vu où je voulais en venir, je vais donc te donner ma solution complète (mais peut-être n'as-tu pas vu le polynôme minimal?) :

S'il existe k tel que f^k = 0, alors le polynôme minimal de f divise X^k, donc il est de la forme X^p avec p divisant k, mais le degré du polynôme minimal est de degré inférieur ou égal à n, donc $p \le n$ ,
donc f^n = (f^p) o f^(n-p) = 0.

Posted by: jose_latino

Désolé Alpha, mais à mon avis, utiliser la théorie du polynôme minimal pour ce problème est un peu excesif.

Posted by: othoo

salut alpha dans ta démo utilisant la polynôme minimal je ne vois pas pourquoi p doit diviser k je crois que p<(ou égale)k suffit

Posted by: sandrine_guillerme

Salut ..
Si Si .. p doit diviser k .. mais je commence à croire que je n'aurais pas du parler de polynome minimal..
Vous en avez parler du polynome minimale .. as tu deja travailler des exercice de ce type .. si ta vraiment du mal a comprendre skon dit ..
tien ce lien a été poster par un memebre de forum il contient d'exelent cours ..
http://www.sciences.ch/dwnldbl/math...elecharger.php3

regarde la dessus et quand t'aura pas compris .. là tu risque d'alez plus loin avec tes raisonnement .. Allez A+