bonjour je voudrais juste un petit coup de pouce pour montrer que si E est un ev de dim finie , f un endomorphisme de E tel que quelquesoit x€E , il existe Rx€N tel que f^(Rx)=0 (où l'exposant désigne la composée Rx fois de f)
alors f est nilpotent i.e il existe r€N , f^r=0
Posted by: El_Gato
Salut,
Puisque pour tout x dans E, , alors, pour tout x dans E, le polynôme divise le polynôme caractéristique de f. Donc, pour tout x dans E (n = dim(E)). Soit r le plus grand de tous les R(x) dans {0,...,n}. On a: .
Posted by: bob l'éponge
Merci pour votre réponse mais 2 petites choses :
La notation Rx ne désigne pas un polynome mais simplement un R qui dépend de x.
On a pas vu encore la notion de polynome caractéristique , de division de polynomes :(
Merci quand meme !
Posted by: babulle
autre méthode:
E est de dim finie, notons la n. et soit B={e1,e2,...en} une base de E
on prend r = sup{R(e1), R(e2)... R(en)}, et on montre que
, alors, pour tout x dans E, le polynôme 
divise le polynôme caractéristique de f. Donc, pour tout x dans E 
(n = dim(E)). Soit r le plus grand de tous les R(x) dans {0,...,n}. On a: 
.
