Soit u un endomorphisme antisymétrique,notons v l'endomorphisme induit par u sur Im(u),montrer que v est bijectif.
En déduire que le rang de u est pair....
Posted by: yos
Le noyau de v est , donc...
La deuxième question utilise le résultat sur un endo antisymétrique en dimension impaire.
Posted by: mehdi-128
Ca me donne que : ker(v) est l'intersection entre Im(u) et son orthogonal....
Posted by: yos
C'est bon non? Noyau réduit à {0}, injectij, bijectif...
Posted by: mehdi-128
oui exact en dimension finie.Merci.
Posted by: mehdi-128
Par contre pour montrer que le rang de u est pair je sais pas trop....
Posted by: yos
v est lui aussi antisymétrique, de plus il est bijectif, or on a vu qu'un endomorphisme antisymétrique d'un espace de dimension impaire est pas bijectif.
Ca prouve bien que l'espace de départ de v est de dimension paire.
Posted by: mehdi-128
Ah ok merci,je pensais ca mais j'étais pas sur que ca marche aussi pour v.
Posted by: yos
L'antisymétrie peut se caractériser par (u(x)|x)=0 pour tout x de E. Puis v est la restriction de u à un sous-espace, ça marche encore pour v.
Posted by: mehdi-128
Soit u un endomorphisme antisymétrique ,montrer qu'il existe un entier naturel p et p réels a1,...........,ap strictements positifs tel que le polynome caractéristique de u soit:
(-1)^n *X^(n-2p)(X^2+a1)*.........*(X^2+ap)
Je vois pas trop comment commencer....
Posted by: yos
Note les racines complexes non nulles du polynôme caractéristique. On a prouvé que ce sont des imaginaires purs.
Posted by: mehdi-128
ok je vais essayer merci.
Posted by: mehdi-128
Oui mais ils veulent que les a1,...........,ap soient p réels ,alors que l'on sait que les racines sont des imaginaires purs .J'ai pas tout saisi.....
Posted by: yos
Posted by: mehdi-128
oui je vois mais je ne comprends pas pourquoi les conjugués des ki sont aussi racines du polynome caractéristique.....
Posted by: yos
On a déjà parlé de ça : X vecteur propre de A pour la vp k entraîne est vecteur propre de pour la valeur propre (suffit de l'écrire). Mais A est une matrice réelle, donc .
, donc...
les racines complexes non nulles du polynôme caractéristique. On a prouvé que ce sont des imaginaires purs.
est vecteur propre de 
pour la valeur propre 
(suffit de l'écrire). Mais A est une matrice réelle, donc 
.