Endomorphisme et dimensions

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Posted by: Rivarol89

Bonjour à tous,

J'utilise le sujet suivant :

Citation:
Soit K un corps commutatif. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie
et f : E → E une application linéaire. Montrer que f est injective si et seulement
si f est surjective.


Pour répondre a cela j'aurais pensé dire la chose suivante :

Montrons par contraposée que f surjective => f injective,
supposons que f n'est pas surjective, alors :

im f ≠ E => (c'est ici que je bloque car f est un endomorphisme (de E dans E) je ne sais pas trop quoi mettre) dim(im f) ≠ dim(E) => dim(Ker f) ≠ 0 => Ker f ≠ 0 => f non injective.

merci d'avance pour votre aide, elle me sera utile...


Posted by: nonam

Citation:
Montrons par contraposée que f surjective => f injective,
supposons que f n'est pas surjective

Bonjour. Juste une remarque : la contraposée de A => B est (non B) => (non A).
Au final, tu as donc montré : f injective => f surjective et non le contraire.
Sinon, pourrais-tu préciser un plus ce qui te bloque dans la démo, je n'ai pas vraiment compris.


Posted by: vincent.pantaloni

Citation:
Posté par Rivarol89
supposons que f n'est pas surjective, alors : im f ≠ E

im f ≠ E => (c'est ici que je bloque car f est un endomorphisme (de E dans E) je ne sais pas trop quoi mettre) dim(im f) ≠ dim(E) => dim(Ker f) ≠ 0 => Ker f ≠ 0 => f non injective.

merci d'avance pour votre aide, elle me sera utile...

Ca me parait pas trivial de dire que comme Im f ≠ E alors leurs dimensions sont différentes. Ca demanderait à être détaillé.

Pour l'implication "f injective implique f surjective", tu peux par exemple prouver que si f est injective, alors l'image d'une base de E est encore une base de E. Ca se passe bien (libre et max)


Posted by: reda89

on a un corrolaire qui dit:
Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie et si dimE=dimF,une application lineaire f de E dans F est bijective,si et seulement si,elle est injective ou surjective.
On peut trouver le resultat facilement en appliquant ce corollaire..

il y a une autre methode aussi simple en raisonnant sur les rangs...


Posted by: NICO 97

Il manque que dim(E)=dim(F) dans les hypothéses


Posted by: ThSQ

C'est dim Ker + dim Im = dim E, qui doit être du cours surement


Posted by: NICO 97

Au final cela donne:
dim(F)=dim(E)=dim(Kerf)+dim(Imf)=dim(Imf) dc Imf =F dc f surjectif
dim(E)=dim(F)=dim(Ker(f) )+dim(Im(f) )=dim(Im(f) dc dim(Kerf)=0 dc Kerf={0} dc f injectif











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