Encore les séries entières

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Posted by: humpf

Je dois montrer que pour tout x tel que |x| < R (ici, R = 1), on a (série de Taylor de arctan)

arctan(x) = 1 - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7}.

Il est indiqué qu'il faut prendre la dérivée de chaque côté de la formule mais j'ai toujours pas compris cette histoire de dérivation terme à terme

Est-ce quelqu'un peut me donner quelques indication supplémentaires ?


Posted by: Joker62

Salut

Donc tu as ceci : Arctan(x)' = \large \frac {1}{1+x^2}
De plus tu sais que

\large \frac {1}{1-x} \ = \ \sum_{k=0}^{\infty} x^k et tu sais que cette série a pour rayon de convergence 1

en posant u = -x² tu retrouveras la dérivée de Arctan

Donc dans le cercle de convergence, ou l'intervalle de convergence puisque tu travailles sur |R, tu peux intégrer termes à termes et retrouver la formule que tu as

c'est à dire :
\large Arctan(x) \ = \ \sum_{k=0}^{\infty} \frac {(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1} \quad \forall x \ tq \ |x| \ &lt; \ 1










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