Mathématiques - encadrement

encadrement
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Posted by: log86

Bonjour j'aurais un soucis sur un exercice s'il vous plait.
C'est un petit problème pour donner un encadrement de 400!
Je pense que le début du problème n'est pas nécessaire pour ma question mais n'hésiter pas à me le dire sinon.
J'ai réussi à montrer que ln(400!) appartenait à [1997,2004] et plus précisément que
400 ln(400)-399<= ln(400!) <= 401 ln(401) - 2ln2 - 399

On me demande d'en déduire 2 entiers r et q tels que
10^q < 400! < 10^r
Puis , en notant N le nombre de chiffres de 400! , de dire quelque chose sur N.

Pour l'encadrement j'y suis allé directement, j'ai pris l'exponentielle:
exp(1997) < 400! < exp(2004)
puis j'ai regardé à la calculatrice et j' ai trouvé q=866 et r=871 et j'en conclue que 867<N<872
mais je ne pense pas que ce soit la méthode voulue !
Auriez vous une idée s'il vous plait?
Merci par avance

Posted by: yos

Citation:

Posté par log86

867<N<872

Si ce doit être ça. Avec une inégalité large à droite : $867\leq N <872$ La seconde est stricte.

Posted by: log86

Merci yos. Est ce que tu as un moyen un peu plus propre pour prouvé que q=866 et r=871 s'il te plait?

Posted by: busard_des_roseaux

bjr,
on peut utiliser aussi la formule asymptotique de Stirling

Posted by: ffpower

Euh la formule asymptotique de stirling est comme qui dirait...asymptotique.Donc assez inutile ici

Posted by: yos

Citation:

Posté par log86

Merci yos. Est ce que tu as un moyen un peu plus propre pour prouvé que q=866 et r=871 s'il te plait?

Je saisis pas ce qui n'est pas propre.
Je suppose vrai que :
$1997<400\,\ln(400)-399<\ln (400!)<401\,\ln(401)-2\ln2-399<2004$
donc en divisant les trois membres par $\ln10$ :
$\log 1997<\log 400!<\log 2004$
donc 867<log 400!<871
donc $10^{867}<400!<10^{871}$
c'est donc que 400! est supérieur au plus petit entier ayant 868 chiffres et inférieur ou égal au plus grand entier ayant 871 chiffres. Donc 400! possède 868, 869, 870 ou 871 chiffres.
Peut-être que j'ai dit un peu vite que 867 était acceptable.

Posted by: log86

Citation:

Posté par yos

Je saisis pas ce qui n'est pas propre.

je pense que tu n'as pas du lire entièrement mon premier message!
En tout cas merci pour ton aide, j'ai compris pour le log; par contre il faut que je re regarde pour les bornes car j'ai un peu de mal.
merci

Posted by: yos

Pas vu plus de choses dans le premier message.
Cependant tu as intérêt à diviser par $\ln10$ avant de prendre un encadrement de ln400! par deux entiers. Tu obtiens alors 867<log 400!<870
Donc 400! possède 868, 869 ou 870 chiffres.

Posted by: log86

Et bien disons que de
1997<= ln(400!) <= 2004
je passais à l'exponentielle
exp(1997)<= (400!) <= exp(2004)
puis je regardais sur ma calculatrice pour écrire exp(1997) comme une puissance de 10 , pareil pour exp(2004)

Merci pour le dernier conseil, est ce que je peux juste demander pourquoi il pourrait avoir 870 chiffres s'il te plait? car si je fais , dans l'ordre dans lequel tu me dis , et si je me trompe pas; je me retrouve bien avec
$\frac{400 ln(400)-399}{ln(10)$ <= $\frac{ ln(400!)}{ln(10)$ <= $\frac{401 ln(401) - 2ln2 - 399}{ln(10)}$ ?
soit
867.54 <= log(400!) <= 869,975
soit 867 < log(400!) < 870 c'est à dire que le nombre de chiffres de 400! est 868 ou 869 , non? c'est bien la définition du log
mais si j'écris 10^867 < 400! < 10^870
çà veut dire que 400! est compris entre un chiffre qui a 868 chiffres et un autre qui en a 870 chiffres donc je suis un peu perdu.
Voyez vous où je me trompe s'il vous plait?

Posted by: yos

$10^{870}$ possède 871 chiffres (c'est le plus petit nombre à vérifier cela). Un nombre qui lui est strictement plus petit en possède au plus 870. Je crois pas qu'on puisse écarter la valeur 870.

Posted by: log86

merci yos pour ton explication