Mathématiques - Emprunts, annuités => taux d'intérêt?

Emprunts, annuités => taux d'intérêt?
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Posted by: Studenthec

Bonjour à tous,

J'ai un petit exercice d'emprunt indivi que je n'arrive pas à résoudre (enfait à comprendre parce que j'ai la résolution lol), voici l'énoncé :

On emprunte 100 000€ pour acheter une maison et on s'engage à rembourser cette somme par une série de versements égaux à 8 000€ payés à la fin de chaque année pendant 20 ans. Quel est le taux d'intérêt de cette emprunt?

Alors sur ma résolution voilà ce qui est fait :

Calcul du montant qu'on pourrait emprunter si l'annuité était d'1€ :
$a_{n} = \frac{1-v^{n}}{i} = \frac{1-(1+i)^{-20}}{i}$
Et $100 000 = a_{n} . 8 000$
=> $12,5 = a_{n}$
=> $12,5 = \frac{1-(1+i)^{-20}}{i}$
=> $12,5 . i = 1-(1+i)^{-20}$
=> $(1+i)^{-20} + 12,5 . i -1 = 0$

Soit $f(i) = (1+i)^{-20} + 12,5 . i -1$
$f'(i) = -20 . (1+i)^{-21} + 12,5$

$i_{n+1} = i_{n} - \frac{f(i_{n})}{f'(i_{n})} = i_{n} - \frac{(1+i)^{-20} + 12,5 . i -1}{-20 . (1+i)^{-21} + 12,5}$

Et puis à partir de là, il trouve
$i_{1} = 0,05$
$i_{2} = 0,0496449$
$i_{3} = 0,0496432$
$i_{4} = 0,0496432$
=> i = 4,9643 %.

A vrai dire, je ne comprends pas trop la fin à partir du $i_{n+1}$ , si quelqu'un sait m'expliquer? Ou bien répondre à la question d'une autre manière ^^'.

Merci beaucoup.

Posted by: gilmat

Bonjour
Ta réponse est exacte : avec Derive et la fonction RATE en faisant :
RATE(20,-8000,100000) on obtient tout de suite 0.0496431 soit 4.96 %.
Gilmat

Posted by: Studenthec

Oui la réponse est correcte (le développement ci-dessus est celui d'un prof donc :P) mais je ne comprends pas comment on y arrive... (sans utiliser une fonction prédéfinie bien sur ^^)