Eléments finis en mécanique (pb de traction)

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Posted by: utawalpa

Bonjour,

alors voilà, je m'exerce un peu avec la méthode des éléments finis. J'ai commencé avec la méthode de Galerkine sur des équations de Poisson et çà marche très bien (jusque la pas de pb !).

N'étant pas habitué à la mécanique j'ai décidé d'essayer sur un petit pb de traction. Le problème est que j'obtiens une matrice de rigidité à la fois non-symétrique et non inversible. Ma question est pourquoi ?

Voici le pb :

Encastrement en x1=0.

-> -> ->
u1 u2 u3
\| F/S
\|------------------------------------------- =====>
\|
x1=0 x2=L/2 x3=L

(désolé pour le schéma mais mes espaces ne semblent pas être pris en compte)


je pars sur une dimension 1 d'un objet en traction. Je pose :

$$\sigma = E. \epsilon \qquad \sigma = \frac{F}{S} \qquad ES \frac{du(x)}{dx} = F $$

J'aimerai travailler avec la méthode de Galerkine, qui avait très bien fonctionnée avec les équations de Poisson.

J'appelle $N(x)$ mes fonctions d'interpolation.

$$ N^{e1}(x) = < 1-\frac{2x}{L} ; \frac{2x}{L} > $$
$$ N^{e2}(x) = < 2 - \frac{2x}{L} ; \frac{2x}{L} - 1 > $$

et

$$ \frac{dN^{e1}(x)}{dx} = < -\frac{2}{L} ; \frac{2}{L} > $$
$$ \frac{dN^{e2}(x)}{dx} = < -\frac{2}{L} ; \frac{2}{L} > $$

Avec la méthodes des résidus pondérés et de Galerkine j'écris :
$$ ES \int_0^L N(x)\frac{du(x)}{dx} dx = \int_0^L N(x) F dx $$

comme $u(x) \simeq N(x) \{ u \} $, je me retrouve avec :

$$ ES \int_0^L N(x)\frac{dN(x)}{dx} \{ u \} dx = \int_0^L N(x) F dx$$

Pour construire mes matrices de rigidité, je pose :

$$ K^{e1}_{11} = \int_0^{L/2} N^{e1}_1(x) \frac{dN^{e1}_1(x)}{dx} dx $$ ; $$ K^{e1}_{12} = \int_0^{L/2} N^{e1}_2(x) \frac{dN^{e1}_1(x)}{dx} dx $$ ; $$ K^{e1}_{21} = \int_0^{L/2} N^{e1}_1(x) \frac{dN^{e1}_2(x)}{dx} dx $$ ; $$ K^{e1}_{22} = \int_0^{L/2} N^{e1}_2(x) \frac{dN^{e1}_2(x)}{dx} dx $$

je procède de la même manière pour $K^{e2}$ et j'obtient la matrice de rigité globale suivante qui n'est ni symétrique, ni inversible..?!

$$<br /> ES<br /> \left[<br /> \begin{array}{c c c}<br /> -1/2 &amp; -1/2 &amp; 0 \\<br /> 1/2 &amp; 0 &amp; -1/2 \\<br /> 0 &amp; 1/2 &amp; 1/2 \\<br /> \end{array}<br /> \right]<br /> \left\{<br /> \begin{array}{c}<br /> u_1 \\<br /> u_2 \\<br /> u_3 \\<br /> \end{array}<br /> \right\}<br /> =<br /> \left(<br /> \begin{array}{c}<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /> FL/4<br /> \end{array}<br /> \right)<br /> $$

Si quelqu'un pouvait m'expliquer (et même m'expliciter) où se trouve mon erreur avec le plus de détail possible.

N'ayez pas peur de dire des choses évidentes, je ne suis pas un spécialiste ni des maths, ni de la physique.

Question bonus : Sur le site de wikipedia expliquant la méthode des éléments finis, la matrice [K] n'est pas inversible non plus...et pourquoi on décide de balancer le vecteur {A} comme çà ?! Il est utile pour construire [B] mais çà me parait un peu bricolage !?

Liens vers wiki MEF :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...rre_en_traction

Merci et du bonheur sur sept générations à qui m'expliquera mes bourdes !!!


Posted by: utawalpa

Bon alors, après moultes recherches sur le sujet...(et en ayant discuter avec des spécialistes surtout). Pour la construction de ma matrice de rigidité, j'aurai dû utiliser la formule suivante :

K=ES \int_0^L [B]^T [B] dx qui conduit à une matrice symétrique.

Ensuite, n'ayant pas fixé mes conditions limites (houuu le naze...) le problème avait une infinité de solution. En ayant fixé u_1 = 0 c'est passé tout seul.

Bon, j'en déduit que si personne n'a répondu à mon post c'est que tout le monde est en vacances...et ils ont bien de la chance, je vous posterai le prochain en septembre !!!

(Du bonheur pour moi du coup - cf fin du précédent post)










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