Bonjour à tous,
étant donné que mon dernier exo n'a vraiment pas eu de succès, j'en remet un autre un peu plus simple :)
Donner tous les couples tels que
Bonne chance!
Ciaoo
Posted by: BancH
On va chercher quelques solutions:
-Les couples évidents sont et
-On a aussi le système suivant:
Posted by: Help
(3,9) marche aussi
Posted by: BancH
Posted by: BiZi
On peut déjà voir que m et n ont exactement les mêmes diviseurs premiers. La seule différence sera donc sur les coefficients dans la décomposition en facteurs premiers.
EDIT: Soit p un diviseur de m. Alors p divise n. Soit k, k' les coefficients de p pour m et n. Alors k*n=k'*(m-n).
Peut-être y'a-t-il quelque chose à tirer de cette relation.
Posted by: Help
Banch, excuse-moi mais je n'ai pas compris ton calcul. si m=9 et n=3, alors m-n=6 et non pas (-6). ou alors j'ai lu trop vite ?
Posted by: BancH
Ah oui tu as raison!
Posted by: BiZi
Je crois avoir trouvé la réponse:
en reprenant mon idée, à partir de la relation
(k+k')*n=k'm
on obtient
((k/k')+1)*n=m
D'où (k/k')=(m/n)-1
Comme m>2n,
On obtient (k/k')>1
m et n ont donc les mêmes facteurs premiers, et de plus les coefficients de m sont toujours plus grand que ceux de n: on en déduit que n divise m.
Donc m s'écrit m=k*n, avec k appartenant à N.
D'où en injectant cette relation dans l'égalité:
(k*n)^n=n^(kn-n)
D'où (k*n)^n=(n^(k-1))^n
D'où k*n=n^(k-1)
D'où k=n^(k-2)
-Pour n=1, seul le couple (1,1) vérifie la relation.
-Supposons n>=2. Alors pour k>=5, on aura n^(k-2)>k.
Il suffit donc d'étudier les cas k=1, k=2, k=3 et k=4.
Pour k=1, et n>=2, m=n et il n'y'a pas de couples solution.
Pour k=2, 2=n^(0)=1 aucune solution.
Pour k=3, 3=n et le couple (3,9) est solution.
Pour k=4, 4=n² et le couple (2,8) est solution.
Les solutions sont donc les couples (0,0), (1,1), (2,8) et (3,9).
et 
Bravo à tous!