Voici un exercice qui - d'après moi - est très intéressant :
Montrer que pour tout entier p>=3, il existe p nombres entiers tels que :
Posted by: lapras
salut
par récurrence
rang n : vrai
rang n+1 :
soit u un entier > nj pour un indice j <= n
soit k = (u*nj)/(u - nj) > 0 ca u > ni donc k entier naturel
alors
1/nj - 1/k = 1/u
dans la somme des 1/ni
1 <= i <= p,
on remplace l'entier nj par l'entier u
puis on pose
n_(p+1) = k
ainsi
la somme des 1/ni vaudra 1
car le + 1/n_(p+1) va faire que
1/u + 1/n_(p+1) = 1/u + 1/k = 1/nj
on va se retrouver avec notre somme qui, par récurrence, vaut 1.
Posted by: kazeriahm
salut
pour que ca soit intéressant il faut les supposer distincts non ?
sinon je prends n_i=p pour tout i dans {1,...,p}
Posted by: Mhdi
Oui, ils doivent être distincts ;)
Posted by: lapras
ok dans ce cas il faut juste choisir judicieusement mon entier u dans ma démo par récurrence ci-dessus.
Il faut u > ni pour tout i tel que
k = (u*nj)/(u - nj) soit un entier naturel > ni pour tout i pour un certain indice j.
On prend j tel que nj = max(ni)
alors
-nj² < 0
=>
-nj² < u*nj - u*nj
=>
nj(u - nj) <u*nj
=>
k = (u*nj)/(u-nj) > nj >= ni pour tout i
déja une condition de remplie
reste que k soit entier.
Et ca c'est évident, même en prenant u tres grand s'il le faut( de telle sorte que u différent de 2*nj sinon u = k...)
donc on aura k différent des a_i, u différent des a_i, par récurrence les a_i sont distincts deux à deux et comme dans ma démo précédente, on aura, si n_(p+1) = k,
somme des ni = 1
Posted by: namfoodle sheppen
en fait je me demande s'il ne suffit pas de trouver le cas n=3 pour trouver le cas général : pour n=3 p1=2, p2=3, p3=6 convient; supposons maintenant le cas n réglé avec 1/p1+...+1/pn=1 : on remplace chaque pi par 2*pi (on aura alors 1/p1+...+1/pn=1/2) et on prend p(n+1)=2 (il n'est pas déjà pris).
Posted by: lapras
Oui apperement c'est aussi une possibilité de démonstration par récurrence !
Posted by: lapras
Mhdi > Confirmes tu nos deux démonstrations ?
Quelle est la tienne ?
Posted by: Mhdi
J'ai aussi utilisé la réccurence :
Pour n=3, c'est trivial. On suppose que c'est juste pour n.
Il faut donc montrer que c'est juste pour n+1 <=> il faut montrer que
On sait que
=>On conclut.
Belle solution namfoodle sheppen !!
lapras>> Je pense que t'as fait trop compliqué, non? ou c'est juste la mise en forme qui donne l'impression?
Posted by: lapras
Pour ma solution non en fait j'ai juste pas réfléchi beaucoup (5 min) pour choisir bien l'entier dans le pas de récurrence mais la transformation de namfoodle sheppen est beaucoup plus simple que la mienne.
tels que :
