Mathématiques - Egalité bizarre :S

Egalité bizarre :S
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Posted by: _-Gaara-_

Salut à tous,

On a :

$\Large{}f_{n}(x)= 1+\sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{n!}$

comment démontrer que pour n supérieur ou égal à 1 on ait :

$\Large{}f_{n+1}'(x) = f_n(x)$

Merci =) çà fait longtemps que je cherche.. en vain

Posted by: Jédusor

tu t es sans doute trompé.
le dominateur n est il pas du k! ?
Dans ce cas , dérivée + réindicitiation.

Posted by: _-Gaara-_

Oui mon problème c'est de dériver le machin xD on fait comment ? (merci pour la réponse éclair! )

Posted by: redeka

essaye d'exprimer f(n+1) en fonction de f(n), puis récurrence ;)

Posted by: Babcool

Est ce que c'est un k! ou un n! au dénominateur?

Pour dériver, vu que tu as une somme finie, tu dérives tous les termes un à un, donc quand on dérive $\frac{x^k}{k!}$ on obtient $\frac{k*x^{k-1}}{k!} = \frac{x^{k-1}}{(k-1)!}$ .

Si tu as effectivement un n! au dénominateur, tu ne peux pas simplifier avec le k, mais dans ce cas, il faut voir comment on peut réarranger la somme... Mais la dérivation se fait exactement de la même manière...

Posted by: Jédusor

@ Gaara_ revois s il n y a pas d erreur. s il y a erreur
$f_{n+1}'(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{kx^{k-1}}{k!}=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}=f_{n}(x)$

Posted by: Jédusor

D ailleurs si t as n! au dénominateur c est faux.
f_1<>f_2'. Revois l énoncé.

Posted by: _-Gaara-_

Salut à tous,

il y a bien un n au dénominateur ^^

et je n'arrive pas à exprimer fn+1 en fonction de fn je ne connais pas les formules de sommation >.<

et comment dérive-t-on une somme ?

c'est bon çà ? :

$\Large{}f_{n+1}'(x)= (\sum_{k=1}^{n+1} \frac{x^k}{(n+1)!})'$

$\Large{}= \sum_{k=1}^{n+1} k\times\frac{x^k}{(n+1)!}$

Posted by: _-Gaara-_

D'accord, je vérifies s'il y a bien un n ou un k au dénominateur en demandant à un ami (j'ai peut-être un énoncé faux xD) mais c'est bizarre quand même ^^

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par Babcool

Pour dériver, vu que tu as une somme finie, tu dérives tous les termes un à un, donc quand on dérive $\frac{x^k}{k!}$ on obtient $\frac{k*x^{k-1}}{k!} = \frac{x^{k-1}}{(k-1)!}$ .

Ah d'accord ! Merciii =) je vérifie encore pour le k :S ^^

Posted by: Jédusor

Citation:

Posté par _-Gaara-_

il y a bien un n au dénominateur ^^

$\neg \forall = \exists$
t as vu le contre exemple du post tt en haut

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par Jédusor

$\neg \forall = \exists$
t as vu le contre exemple du post tt en haut

mdr je parlais de l'énoncé ^^ je n'affirmais pas que c'était un n je le constatais c'est tout lol ^^

En tout cas je suis d'accord avec toi qu'il y a normalement un k à la place du n =)

Je vérifie çà Immediately.

Posted by: redeka

hum, tu as dit ne pas savoir dériver une somme...

la dérivée d'une somme c'est la somme des dérivées...
c'est la première ça ;)

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par redeka

hum, tu as dit ne pas savoir dériver une somme...

la dérivée d'une somme c'est la somme des dérivées...
c'est la première ça ;)

Mdr oui je suis bête la plupart du temps mais bon. C'est le signe (sigma) qui m'a impressioné... Bref lol

et j'avais zappé que (x^k)' = k*x^(k-1)

Posted by: redeka

et donc, sur factorielle k, ca donne? :D

Posted by: redeka

2 pages de réponses, des contre exemples, des indices, et pas un (je m'inclus dedans) qui arrive à reconnaitre le DL de l'exponentielle

Posted by: Jédusor

Citation:

Posté par redeka

2 pages de réponses, des contre exemples, des indices, et pas un (je m'inclus dedans) qui arrive à reconnaitre le DL de l'exponentielle

pas besoin d invoquer le dl de l exponentiel la ou on ne donnera pas comme hypohese que f est le dl de exp c pkoi fn+1=f'n. (la culture faut en faire un tresor).

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par redeka

et donc, sur factorielle k, ca donne? :D

lol redeka on dirait mon ancien prof de maths ^^

bon avec factorielle k cela donne :

$\Large{}f_{n+1}'(x)= (\sum_{k=1}^{n+1} \frac{x^k}{(k+1)!})'$

donc

$\Large{}f_{n+1}'(x)= \sum_{k=1}^{n+1} k\times \frac{x^{k-1}}{(k+1)!}$

donc

$\Large{}f_{n+1}'(x)= \sum_{k=1}^{n+1} \frac{x^{k-1}}{(k)!}$

et là je ne sais pas pourquoi mais j'ai envie de dire que çà donne :

$\Large{}f_{n+1}'(x)= \sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k}}{(k)!}$

c'est bon redeka ?

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par Jédusor

pas besoin d invoquer le dl de l exponentiel la ou on ne donnera pas comme hypohese que f est le dl de exp c pkoi fn+1=f'n. (la culture faut en faire un tresor).

Sans partage le monde n'avance pas, en maths comme au football, on joue tous ensemble pour gagner ensemble.

Posted by: alavacommejetepousse

Citation:

Posté par redeka

2 pages de réponses, des contre exemples, des indices, et pas un (je m'inclus dedans) qui arrive à reconnaitre le DL de l'exponentielle

bonsoir
ce n'est pas un dl il n'y a pas de petit 0
c'est la partie régulière du dit dl

cela n'aide en rien pour répondre à la question.

Posted by: _-Gaara-_

Ok donc supposons qu'il y ait un k =)

C'est bon ce que j'ai fait ? =)

Posted by: redeka

si on avait reconnu le DL, on se serait pas demandé pendant 15 posts si c'était un n! ou un k!.... mais bon, visiblement certains n'aiment pas passer à coté d'un truc aussi gros et sont trop peu honnetes pour l'admettre...

Gaara:

tu étais à :

(x^k)' = k*x^(k-1)

donc avec k! ca faisait:

(x^k/k!)' = k*x^(k-1)/k!=x^(k*1)/(k-1)!

Le problème avec ta réponse c'est que tu as un (k+1)! qui apparait alors qu'il n'a rien à faire là ;) du coup tu bidouilles à la fin mais....

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par redeka

si on avait reconnu le DL, on se serait pas demandé pendant 15 posts si c'était un n! ou un k!.... mais bon, visiblement certains n'aiment pas passer à coté d'un truc aussi gros et sont trop peu honnetes pour l'admettre...

Gaara:

tu étais à :

(x^k)' = k*x^(k-1)

donc avec k! ca faisait:

(x^k/k!)' = k*x^(k-1)/k!=x^(k*1)/(k-1)!

Le problème avec ta réponse c'est que tu as un (k+1)! qui apparait alors qu'il n'a rien à faire là ;) du coup tu bidouilles à la fin mais....

Oui j'ai compris =) je refais çà redekaaaaaaaaaaaaaa =)

Posted by: _-Gaara-_

voilààà

$\Large{}f_{n+1}'(x)= (\sum_{k=1}^{n+1} \frac{x^k}{(k)!})'$

donc

$\Large{}f_{n+1}'(x)= \sum_{k=1}^{n+1} k\times \frac{x^{k-1}}{(k)!}$

donc

$\Large{}f_{n+1}'(x)= \sum_{k=1}^{n+1} \frac{x^{k-1}}{(k-1)!}$

$\Large{}f_{n+1}'(x)= \sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k}}{(k)!}$

hihihi c'est bon çà ??

Posted by: alavacommejetepousse

c'est une évidence que cela devait être k!...

Posted by: ffpower

remarquer que c le dl de exp donne le resultat,car le dl de la dérivée c la dérivée du dl..mais ce serait un peu nimp comme methode lol

Posted by: redeka

Je pensais pas que c'etait la méthode, mais la 2e question :D

Gaara: bien :D

Posted by: _-Gaara-_

Okiii c'est coool =)

Encore merci pour tout :D

Posted by: Joker62

Y'a des gens qui lisent pas tous les posts !!! :)
C'est pas un DL on a dit plus haut...

Pour Gaara, ton dernier post, ta dernière ligne, tu fais un changement d'indice mais tu en oublies un apparemment.

Tu poses j = k-1
La somme varie alors de 0 à n, qui n'est donc à priori pas égale à f_n(x)
Il suffit de sortir le premier terme et c'est fini.

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par Joker62

Pour Gaara, ton dernier post, ta dernière ligne, tu fais un changement d'indice mais tu en oublies un apparemment.

Tu poses j = k-1
La somme varie alors de 0 à n, qui n'est donc à priori pas égale à f_n(x)
Il suffit de sortir le premier terme et c'est fini.

J'avoue ! je viens de le remarquer :D

une seconde que je refasse çà ^^

merci Joker.

Posted by: _-Gaara-_

Voilà ^^

mais je ne suis pas sûr >.<

$\Large{}f_{n+1}'(x)= \sum_{k=1}^{n+1} \frac{x^{k-1}}{(k-1)!}$

donc

$\Large{}f_{n+1}'(x)= \fr{x^0}{0!} + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k}}{(k)!}$

c'est bien çà ??

Posted by: Joker62

Parfait ;)
Et le premier terme qui vaut 1.

D'où l'égalité :)

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par Joker62

Parfait ;)
Et le premier terme qui vaut 1.

D'où l'égalité :)

héhé que serais-je sans Joker ! Rien !

Merciii beaucoup ^^

Posted by: B_J

Citation:

Posté par ffpower

remarquer que c le dl de exp donne le resultat,car le dl de la dérivée c la dérivée du dl..mais ce serait un peu nimp comme methode lol

en general , on ne peut pas deriver un DL

Posted by: ffpower

disons quand tout se passe bien quoi(f infininiment derivable)