ECS1, je ne suis pas la seule ^^

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Posted by: Killah

Voilà, alors l'énoncé de l'exercice sur lequel je bute est :

a) Démontrer par récurrence l'égalité (n€N*) :
Somme de k=0 à n k^3 = (n(n+1)/2)²

Celle là j'ai réussi, c'est la deuxième question qui me pose problème, à savoir :

b) Développer (k+1)^3-k^3 et retrouver ainsi le résultat précédent.

Je suis partie de la façon suivante :

(k+1)^3-k^3= 3k²+3k+1, donc k^3= (k+1)^3 - 3k² - 3k - 1
D'où : Somme (k^3)=Somme [ (k+1)^3 - 3k² - 3k - 1]

Alors, d'après les propriétés du cours je peux déterminer : Somme -3k², Somme de -3k et somme de -1, le problème étant donc (k+1)^3 ... Je pensais à effectuer un arrangement pour avoir une somme télescopique, mais ça ne paraît pas fonctionner ...

Si vous pouviez me guider . . .


Posted by: fahr451

bonjour

il y a me semble t il une coquille dans l'énoncé


ton raisonnement est tout à fait correct mais il faut partir de

(k+1)^4 - k^ 4


Posted by: Killah

Merci beaucoup pour cette note qui a résolu mon problème ^^

J'ai cependant une autre question qui me laisse perplexe :

Comment calcule-t-on une somme lorsque le "k" est dans le dénominateur d'une fraction ?!
Par exemple : calculer pour n€N* : 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/n(n+1) = Somme de k=1 à n de 1/k(k+1)

J'ai pensé aux factorielles mais je ne m'en suis absolument pas sortie !!


Posted by: Isomorphisme

Décompose \displaystyle{\frac{1}{k(k+1)}} en \displaystyle{\frac{a}{k} + \frac{b}{k+1}} avec a,b à déterminer évidemment !


Posted by: Killah

Je cherche à démontrer que pour k€N*,

k! > ((k+1)/3)^k

Je procède par récurrence donc d'après l'hypothèse de récurrence :

k! (k+1) > (k+1)^k+1 / 3^k
(k+1)! > ((k+1)/3)^k+1 car en effet si on divise par 3, le nombre est d'autant plus petit ...

Le problème réside en ce que : si je démontre par récurrence, je dois montrer P(n) -> P(n+1) soit (k+1)! > ((k+2)/3)^k+1 !! Or je m'en sors avec (k+1)! > ((k+1)/3)^k+1 . . .


Où est le problème ? :(


Posted by: fahr451

bonsoir

tu as majoré trop brutalement

réécris l'inégalité que tu voudrais avoir au rang k+2 et celle que tu as par hypothèse déduis en ce qu'il suffirait d'avoir pour que la récurrence fonctionne


Posted by: Killah

Je crois avoir essayé, sans succès ...
Parce que je peux partir du fait que k+2> k+1 et continuer dans mes inéquations jusqu'au résultat mais je suis confrontée à quelque chose du genre :

(k+1)! > (expression au rang k)
Et (expression au rang k+1) > (expression au rang k)

Ce qui ne me permet pas de conclure que

(k+1)! > (expression au rang k+1) !!!


Posted by: fahr451

on a supposé


k ! > (k+1)^k /3^k


on veut (k+1) ! > (k+2)^(k+1) /3^(k+1)

il suffit
[(k+1)/(k+2) ]^(k+1) > 1/3


soit [( x+1) /x] ^x < 3 avec x = k+1

pour montrer l'inégalité en x passer au ln éventuellement, étudier une fonction










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