Mathématiques - Droites équidistantes de deux points fixés

Droites équidistantes de deux points fixés
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Posted by: yos

Comment caractériseriez-vous ces droites dans l'espace? C'est pour une question de vissage à laquelle j'ai répondu sur math.net et je n'arrive pas à finir.
Merci.

Posted by: nuage

Salut,
elles sont dans le plan "médiateur" (ie le plan perpendiculaire au segment en son milieu)
Mais j' ai sans doute mal compris la question.

Posted by: BancH

Elles appartiennent au plan situé entre les deux points, orthogonal à la droite passant par ces deux points et tel que le point commun à ce plan et cette droite soit à égale distance des deux points.

Posted by: BancH

Oui c'est vrai que la question n'est pas bien claire, tu veux que tout point des droites soit aussi proche d'un point fixé qu'il ne l'est de l'autre?

Posted by: mathelot

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Posté par nuage

Salut,
elles sont dans le plan "médiateur" (ie le plan perpendiculaire au segment en son milieu)
Mais j' ai sans doute mal compris la question.

non , ce n'est pas aussi simple. sur (D) il y a un point M qui réalise
la distance à X1 et un point N qui réalise la distance à X2, avec MX1=NX2
mais (D) n'est pas forcément dans le plan médiateur de X1X2.

Posted by: nuage

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Posté par mathelot

C'est vrai mais alors on ne peut rien dire de la droite (D) : pour un point A fixé on peut trouver sur "presque toutes" les droites passants par A des points M et N tels que MX1=NX2.
fait un dessin sur le plan A X1 X2 pour t'en convaincre.

J'attend des précisions de yos pour savoir ce qu'il cherche.
A+

Posted by: yos

Ben ma question est claire non?
On prend deux points distincts A et B dans l'espace et on cherche les droites D telles que d(A,D)=d(B,D).
Il y a évidemment :
- les droites incluses dans le plan médiateur,
- les parallèles à (AB),
- des tas d'autres droites.

Posted by: Zebulon

Bonjour,
je dirais que pour les droites coplanaires à (AB), ce sont les droites parallèles à (AB) et les droites stables par symétrie de centre le milieu de [AB].

Posted by: yos

Et dans le cas non coplanaire à (AB), tu es bien d'accord qu'il y en a des tas d'autres? Peut-on les caractériser simplement?
Le problème initial était le suivant : dans l'espace, deux triangles ABC et A'B'C' sont isométriques. On cherche l'axe du vissage qui envoie A,B,C sur A',B',C' resp. Cet axe doit être équidistant de A et A', (mais aussi de B et B', de C et C'), d'où ma question.

Posted by: Zebulon

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Posté par yos

dans l'espace, deux triangles ABC et A'B'C' sont isométriques. On cherche l'axe du vissage qui envoie A,B,C sur A',B',C' resp.

Ce n'est pas simplement le vecteur $\vec{GG'}$ avec G et G' les centres de gravité ?
Et on considère les rotations d'axe les médianes.

Posted by: yos

Je ne vois pas de raison pour que ce soit ça. Peux-tu détailler? Les médianes? Six en tout. Que fait-on avec les six rotations?
Je précise que les deux triangles sont a priori non coplanaires (s'ils le sont, le vissage se réduit à une translation ou à une rotation).
Dans le cas général, l'existence et l'unicité du vissage qui envoie A,B,C sur A', B', C' te semble-t-elle claire? Ce dernier point est un exercice facile de CAPES.

Posted by: fahr451

c'est donc le capes qui me manquait ... (je viens de le passer sur ce point c'est clair à présent)

Posted by: Zebulon

Citation:

Posté par yos

Je ne vois pas de raison pour que ce soit ça. Peux-tu détailler? Les médianes? Six en tout. Que fait-on avec les six rotations?
Je précise que les deux triangles sont a priori non coplanaires (s'ils le sont, le vissage se réduit à une translation ou à une rotation).
Dans le cas général, l'existence et l'unicité du vissage qui envoie A,B,C sur A', B', C' te semble-t-elle claire? Ce dernier point est un exercice facile de CAPES.

Je crois qu'en fait je dis des bêtises. Je n'ai rien démontré du tout. Raisonnement "à la main" (au sens propre : j'envoie les doigts de ma main gauche sur ceux de ma main droite) et application du théorème du Plan d'Involution Facial...

Posted by: yos

Citation:

Posté par Zebulon

théorème du Plan d'Involution Facial...

C'est quoi ça?

Posted by: Zebulon

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Posté par yos

C'est quoi ça?

Le PIF !!

Posted by: yos

Raconte moi ça, je suis intéressé.

Posted by: Zebulon

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Posté par yos

Raconte moi ça, je suis intéressé.

Malheureusement, çe n'est pas très intéressant.

Quand j'ai cherché avec mes doigts, j'ai fait l'erreur de croire qu'il y avait toujours une des médianes de ABC dans le plan A'B'C' donc je lui tournais autour (de la médiane) pour mettre ABC dans le plan A'B'C'. Ensuite une rotation d'axe orthogonal au plan (je me suis trompée tout à l'heure) et on arrive sur A'B'C'.

Posted by: yos

Je parlais du PIF : jamais entendu ce nom? Tu peux me dire en gros ce que ça dit.
Pour le problème des deux triangles, on peut faire des composées de déplacements, mais on verra mal ce que ça donne comme déplacement à la fin.

Posted by: Zebulon

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Posté par yos

Je parlais du PIF : jamais entendu ce nom? Tu peux me dire en gros ce que ça dit.

Ca dit qu'on active son pifomètre.
C'était une blague de mon prof de SI en prépa, j'y suis pour rien.

Posted by: sandrine_guillerme

mdrrrrrrrrr! et moi dès que j'ai vu le théorème je me suis vite précipitée vers google pour voir ce que ça donne ...

Joli !

Posted by: yos

Plan d'Involution Facial... J'aurai dû m'en douter!

Posted by: Zebulon

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Posté par yos

Dans le cas général, l'existence et l'unicité du vissage qui envoie A,B,C sur A', B', C' te semble-t-elle claire? Ce dernier point est un exercice facile de CAPES.

Pour en revenir au sujet, moi je ne sais pas le démontrer. Mon prof de géométrie nous l'avait dit mais pas démontré (ils nous incitait fortement à chercher). Un membre s'était aussi posé la question ici.

Pourrais-tu m'expliquer s'il te plaît ?

Posted by: Imod

Bonjour à tous .

Il me semble que la méthode de Zebulon marche bien . En considérant la tranlation qui amène G' en G on met en coïncidence les centres de gravité . Puis dans le plan contenant G et les médianes [AI] et [A'I'] sécantes en G , on effectue la rotation de centre G qui amène A' en A . Alors les deux triangles sont dans deux plans sécants en (AG) et il n'y a plus qu'à considerer la rotation d'axe (AG) qui amène B' en B .

Sauf erreur .

Imod

Posted by: yos

Je n'avais pas vu le fil que m'indique Zébulon. Ce doit être la même personne qui avait posé la question sur "les-mathématiques.net". Il n'y a eu aucune réponse satisfaisante.
Pour l'existence et l'unicité du vissage qui envoie un triangle sur l'autre, il faut voir que les vissages sont LES déplacements de l'espace (une rotation est un vissage de vecteur nul, une translation est un vissage d'axe arbitraire et d'angle nul). Cette convention permet de retenir simplement la classification des isométries de l'espace.
Maintenant, le fait qu'il existe un unique déplacement envoyant un triplet de points de l'espace sur un autre (isométrique) est une simple question d'algèbre linéaire. On peut aussi rester dans l'affine en travaillant avec des repères affines : on ajoute un 4ème point D hors du plan (ABC) et le point D' tel que les tétraèdres ABCD, A'B'C'D' soient directement isométriques. Ces points forment deux repères affines (au sens des coordonnées barycentriques) et donc il existe un unique déplacement qui envoie (A,B,C,D) sur (A',B',C',D').

Pour la méthode détaillée par Imod, je suis d'accord mais ce genre de chose ne fait que redémontrer l'existence, car l'allure de ta composée reste un mystère (où est l'axe du vissage?). Dans le même genre on peut faire un peu plus simple : les plans (ABC) et (A'B'C') sont sécants selon une droite (D). Une rotation d'axe (D) envoie un plan sur l'autre et on est ramené à un problème plan facile (si les plans (ABC) et (A'B'C') sont parallèles, on prend une translation).