Mathématiques - Droite projective réelle et le cercle unité

Droite projective réelle et le cercle unité
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Posted by: Zapata

Bonjour à tous,
voilà je comprends bien ce qu'est la droite projective réelle (on projette IR carré sur le cercle unité puis on identifie les points opposés, donc je peux "éliminer" un demi-cercle (fermé d'un coté, ouvert de l'autre) et recoller les deux bords du demi-cercle restant, ce qui fait un cercle).
Je comprends aussi bien ce qu'est le cercle unité avec les projections stéréographiques (on imagine donc qu'on tord la droite réelle et qu'on colle moins l'infini avec plus l'infini, ce qui devient le pôle nord).
Donc on a un cercle des deux cotés... cool ! j'aimerais trouver maintenant trouver une bijection bicontinue entre les deux espace (S1 et droite projective réelle = P1(R)).
Est-ce aussi simple que
f: P1(R) ----> S1
e^io -----> e^2io (ou o=theta, varie de O inclus à pi exclu) ?
ou je me plante ?
Merci !

Posted by: mathelot

bjr,

l'application
$\displaystyle S^1 \rightarrow S^1$
$f: e^{i \theta} \rightarrow e^{2 i \theta}$

est bien définie (tous les nombres congrus à $\theta$ modulo $2\pi$ donnent la même image).

Elle est continue.
c'est un morphisme de groupes multiplicatifs.
Elle passe au quotient en une application $\bar{f}$ par la relation d'antipodie, qui s'exprime par
$\theta R \theta'$ ssi $\theta \eq \theta' + \pi (2\pi)$

$\bar{f} : P^1(R) \rightarrow S^1$
est continue et bijective.

Soit O un ouvert de $P^1(R)$ . Son complémentaire est un fermé du compact $P^1(R)$ , donc un compact, l'image de $O^{c}$ par $\bar{f}$ est un compact car $\bar{f}$ est continue,donc un fermé
( $S^1$ est séparé).

$\bar{f}$ est ouverte et sa bijection réciproque continue.