Mathématiques - Double inversion

Double inversion
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Posted by: Chimerade

Tout le monde sait que si l’on appuie deux fois de suite sur la touche « 1/x » d’une calculatrice, on ne retombe pas toujours sur le même nombre. Bon !
Je propose de préciser un peu les choses. Je suppose que la calculatrice affiche (et mémorise) en mode scientifique, avec 12 chiffres significatifs sous la forme x,xxxxxxxxxxx. De plus, je suppose qu’elle retient à chaque opération les douze premiers chiffres significatifs, sans opérer d’arrondi vers le haut (troncature donc).

Entre 1.00000000000 et 9.99999999999 (bornes incluses), il y a exactement 900000000000 représentations différentes de nombres, disons 900000000000 mantisses différentes. Pour combien d'entre elles la double opération consistant à appuyer deux fois de suite sur la touche « 1/x » réaffiche-t-elle le nombre initial ?

Posted by: Chimerade

Personne pour relever le défi ?

Pour info :

Les concepts mathématiques nécessaires à la résolution de ce problème sont acquis en 3-ième. Pour ce qui est niveau de réflexion, de savoir-faire, je pense qu'un élève de TS devrait être capable de le faire... Pour un élève de prepa, c'est enfantin !

Alors...

Posted by: mathador

Citation:

Les concepts mathématiques nécessaires à la résolution de ce problème sont acquis en 3-ième. Pour ce qui est niveau de réflexion, de savoir-faire, je pense qu'un élève de TS devrait être capable de le faire... Pour un élève de prepa, c'est enfantin ! alors...

... alors c'est de la provocation :D
Pour la peine, je cherche ;)

Posted by: celge

Dis moi juste si je m'engage dans la bonne voie : je cherche à savoir si ca a un rapport avec les derniers chiffres des nombres. ??

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par celge

Dis moi juste si je m'engage dans la bonne voie : je cherche à savoir si ca a un rapport avec les derniers chiffres des nombres. ??

Difficile de répondre à ta question. Il est certain que "ca a un rapport avec les derniers chiffres des nombres", puisqu'il s'agit d'arrondis ! Par contre, ma démonstration ne se focalise pas sur ce fait.

Cela dit, il n'est pas exclu que tu trouves une autre démonstration, qui, elle se focalise sur les derniers chiffres des nombres...

Ai-je répondu à ta question ?

Posted by: celge

oui, tu as repondu parfaitement à ma question, et je t'en remercie.

Posted by: Non inscrit

j'espere ne pas dire de betises mais si l'on note 1/x=y avec une precision de 11 chiffres apres la virgule il suffit de multiplier 1/x par 10^11 et de trouver pour quels valeurs de x, y est un nombre entier. je suis en seconde et je ne dispose pas des outils arithmetiques que vous avez ...

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Non inscrit

j'espere ne pas dire de betises mais si l'on note 1/x=y avec une precision de 11 chiffres apres la virgule il suffit de multiplier 1/x par 10^11 et de trouver pour quels valeurs de x, y est un nombre entier. je suis en seconde et je ne dispose pas des outils arithmetiques que vous avez ...

Tu ne dis pas de bêtises...

Posted by: Alpha

Citation:

Entre 1.00000000000 et 9.99999999999 (bornes incluses), il y a exactement 900000000000 représentations différentes de nombres

Bien qu'étant élève de prépa, j'avoue que j'ai un peu de mal à saisir la dernière partie de l'énoncé, qui, selon moi, est assez vague dans sa formulation (mais ça peut aussi venir de moi ;) ).

Pour moi, entre 1.00000000000 et 9.99999999999, il n'y a aucun nombre de moins de 12 chiffres, le "successeur" de 9.99999999999 étant 1.00000000000. Je ne vois donc pas à quoi correspond le nombre de représentations différentes de nombres dont tu parles.

De toute évidence, si je pense avoir très bien compris la 1ère partie de ton énoncé, je n'ai pas compris ce que tu voulais dire dans la 2ème. Quelque chose de tout bête a du m'échapper! Peux-tu m'expliquer ce que tu as voulu dire?

Merci d'avance

;)

Posted by: mathador

Oops, you did it again, Alpha ;)
le "successeur" de 1,00000000000 est 1,00000000001 ... le successeur de 9,99999999999 serait bien 1,00000000000 avec l'ajout d'une unité à l'ordre de grandeur, mais tu as oublié quelques autres valeurs ... par exemple 1,618 033 988 75 (arrondi à 10^-11 du nombre d'or), 3,141 592 653 59 (même principe avec pi, naturellement !) ou 2,718 281 828 46 ... Donc franchement, ç'aurait été dommage de passer à côté (on peut rajouter racine de 2, de 3, de 4 -sans intérêt- de 5 de 6 de 7 de 8 etc ...)
Et le problème résiste encore :)

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Alpha

Pour moi, entre 1.00000000000 et 9.99999999999, il n'y a aucun nombre de moins de 12 chiffres, le "successeur" de 9.99999999999 étant 1.00000000000. Je ne vois donc pas à quoi correspond le nombre de représentations différentes de nombres dont tu parles.

De toute évidence, si je pense avoir très bien compris la 1ère partie de ton énoncé, je n'ai pas compris ce que tu voulais dire dans la 2ème. Quelque chose de tout bête a du m'échapper! Peux-tu m'expliquer ce que tu as voulu dire?

Pour l'instant, je ne peux pas, vu que je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas ! Est-ce que la réponse de mathador (que je remercie) t'a permis de voir s'envoler tes incertitudes ? Si oui, c'est parfait. Sinon, merci d'expliciter un peu plus, car vraiment j'ai du mal à percevoir ton problème.

Amicalement

Posted by: Alpha

Je suis vraiment confus :

Au lieu de lire entre 1.00000000000 et 9.99999999999, je ne sais pas comment ça se fait, j'ai compris entre 0.9999999999 et 1.00000000000 ...

Forcément, ça n'aide pas...

Bon, je me suis couvert de ridicule... :o Je n'arrive pas à m'expliquer comment j'ai pu lire à ce point de travers. Ca ne m'arrive quasiment jamais. Mille excuses.

Tout s'éclaircit maintenant.

;)

Posted by: mathador

Oui, ta honte fait ombre à toute l'équipe de modération :D
Allons, allons, c'est rien ;) tu as juste perdu toute crédibilité.
Un seul moyen de se racheter : résoudre cette énigme !!!

Posted by: pianozik

Bon peut être j'ai pû résoudre cette énigme, voilà. Au début, j'ai négliger l'intervalle proposé mais à la fin, je me suis rendu compte qu'il a d'utilité.
Notons que tout nombre décimal est rationnel
Comme vous dites, ce nombre qu'on va noter http://www.maths-forum.com/images/l...64e155c67a6.gif a 12 valeurs représentatifs et il fait parti de l'intervalle [1; 9,99999999999], par conséquent le nombre http://www.maths-forum.com/images/l...64e155c67a6.gif admet la forme suivante (en sachant qu'il est décimal) :
http://www.maths-forum.com/images/l...9fe5e4ad465.gif, donc il existe un nombre http://www.maths-forum.com/images/l...85149852f08.gif appartenant à Z tel que http://www.maths-forum.com/images/l...ec6570ece8c.gif
Pour le nombre http://www.maths-forum.com/images/l...7841ecc3f4f.gif on a deux cas qu'on va citer:
Cas 1°) http://www.maths-forum.com/images/l...7841ecc3f4f.gif est est rationnel avec au maximum 11 nombres après la virgule, dans ce cas http://www.maths-forum.com/images/l...aa7459f998e.gif
Cas 2°) http://www.maths-forum.com/images/l...7841ecc3f4f.gif est rationnel avec http://www.maths-forum.com/images/l...de7b31363a1.gif nombres après la virgule http://www.maths-forum.com/images/l...1f786ffd424.gif (que ce http://www.maths-forum.com/images/l...de7b31363a1.gif soit fini ou infini), puisque la calculatrice ne retient que 12 chiffres représentatifs (sans opérer d'arrondi), alors : http://www.maths-forum.com/images/l...31345a3e73b.gif
Or, la calculatrice retiendera que le nombre http://www.maths-forum.com/images/l...707c3962200.gif, d'où http://www.maths-forum.com/images/l...22d29e1c119.gif que ce nombre est http://www.maths-forum.com/images/l...64e155c67a6.gif plus un réel non nul http://www.maths-forum.com/images/l...0189b3dc231.gif
Le nombre http://www.maths-forum.com/images/l...7841ecc3f4f.gif n'est jamais irrationnel, car l'inverse d'un nombre décimal est une fraction de deux entiers qui est rationnelle
Il me reste mnt la confirmationhttp://maths-forum.com/images/smilies/wink.gif , merci

Posted by: Chimerade

Bonjour pianozik,

C'est un peu dur de commenter ta réponse, mais je vais essayer.

Citation:

Posté par pianozik

Bon peut être j'ai pû résoudre cette énigme, voilà.

Première remarque : la réponse à l'énigme est un nombre et je ne vois pas de nombre. Donc, peut-être as-tu résolu cette énigme, mais tu ne nous as pas encore dévoilé le nombre cherché.

Citation:

Posté par pianozik

Cas 1°) $\Large \frac{1}{x}$ est est rationnel avec au maximum 11 nombres après la virgule, ...

Je suis d'accord que dans ce cas-là la double inversion donne un résultat exact. Cependant, d'une part on peut déplorer l'absence de démonstration (tu affirmes quelque chose qui n'est pas si évident que cela et tu ne le démontres pas), d'autre part, il faut savoir que seuls des nombres de la forme $\Large 2^k\times 5^l$ peuvent avoir cette propriété, et tous ne l'ont pas, je pense. Et le nombre de tels nombres est misérablement petit, comparé aux 900 000 000 000 de nombres dont il est question. Mais bon ! Un point pour toi !

Pour clarifier mon propos, l'appelle R(x) la représentation de x sur la calculette, ce qui veut dire que R(x) peut être différent de x, d'accord ?
Dans le cas où le développement décimal de $\Large \frac{1}{x}$ dépasse les 12 chiffres décimaux - ce qui est donc le cas général - je suis d'accord avec ton affirmation selon laquelle $\Large R(\frac{1}{(\frac{1}{x})} )=R(\frac{1}{\beta})$

D'accord, mais, j'attends la suite.
Etant donné que je désire que tu trouves la solution, je suis un peu inquiet de cette voie que tu as prise. Mais l'expérience montre qu'on peut souvent arriver à démonter la même chose par plusieurs voies différentes. Le fait que je ne voie pas comment tu peux continuer dans cette voie, ne prouve nullement que tu ne vas pas trouver un moyen : je peux me tromper.
En outre, le début de formalisation que tu as faite peut mener à d'autres pistes...Lis bien le post du 31/07/2005 à 00h11

Bon courage !

Posted by: Non inscrit

Puisque c'est a la portee d'un eleve de seconde, il n'y ni logs, ni integrations.
Puisque c'est un probleme autoreciproque, il y a une symetrie d'ordre 2.
Donc, dans un cas sur deux ca marche, et dans un cas sur deux, ca marche
pas.

La solution serai donc 450000000000.

Plus serieusement, si on multiplie le nombre original par 10^11,
on a un entier compris dans [10^11, 10^12 [
Si on multiplie son inverse par 10^12, on a un entier compris dans ]10^11, 10^12 ]
Aux problemes de bornes pres, on a donc l'inversion qui est une application
de l'intervalle [10^11, 10^12] dans lui-meme, et on cherche simplement
cardinal (image)

J'ai essaye de le determiner a partir du nombre de "non-collisions"
(cas ou un nombre et son predecesseur n'ont pas le meme inverse pour la calculette),
mais ca n'est pas si simple vu qu'il faut aussi distinguer les collisons a 2,
3, 4, etc..

Soit m la mantisse, 1/x = 10^11/m, la difference entre les inverses de deux nombres successifs est 10^11(1/m-1 - 1/m).

Il y a non-collision si 10^23 (1/(m-1)m) >1, donc si m^2-m-10^23 < 0,
m <( 1 + racine (1+4 10^23)) / 2

Il n'y a pas triple collision si 10^23(1/m-2 - 1/m)> 1, pas quadruple
si 10^23(1/m-3 - 1/m)> 1, etc.

Ca me parait bien complique.

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Non inscrit

La solution serai donc 450000000000.

:D :D :( NON !

Citation:

Posté par Non inscrit

Puisque c'est a la portee d'un eleve de seconde,...

Trop facile ! C'est vrai je n'aurais pas dû dire cela : c'est déjà une indication.

Tu étais sur la bonne voie... jusqu'à un certain point. Ne te fourvoie pas, tu brûles !

Citation:

Posté par Non inscrit

Il n'y a pas triple collision si 10^23(1/m-2 - 1/m)> 1, pas quadruple
si 10^23(1/m-3 - 1/m)> 1, etc.Ca me parait bien complique.

Là, ça devient compliqué, mais faut-il aller jusque là ?

Posted by: Non inscrit

Citation:

Posté par Chimerade

Tu étais sur la bonne voie... jusqu'à un certain point. Ne te fourvoie pas, tu brûles !

Là, ça devient compliqué, mais faut-il aller jusque là ?

Non, bien sur, une fois dans mon lit j'ai vu que j'avais elimine trop vite
l'idee qu'en multipliant l'inverse par 10^11, on avait une application
de [10^11,10^12[ dans ]10^10,10^11] parce que je pensais que ca ne donnait
qu'un majorant.
Mais dans mes divagations ulterieures, il y avait la condition pour que toute valeur
de ]10^10,10^11] soit bien atteinte :
m^2 - m - 10^22 > 0, donc m > (1+racine(1+4 10^22))/2, en gros m > 10^11,
le cas 10^11 doit etre regarde separement (et on voit qu'il est bien atteint).

Donc card(image(1/x calculette)) = card (]10^10,10^11]) = 9 10^10

Posted by: pianozik

s'il vous plait, qu'est ce qu'une mantisse ? (je suis marocain et on étudie les maths en arabe, malgré la traduction qu'on a comme matière, certains mots peuvent s'échapper)Peut si j'avais bien compris, de l'énoncé on peut dire que les mantisses est le cardinal de l'intervalle [1; 9.99999999999] (en sachant que chaque nombre a 11 chiffres après la virgule au maximum. est-ce ça ?

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Non inscrit

J'ai bien du mal à te suivre...

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par pianozik

Peut si j'avais bien compris, de l'énoncé on peut dire que les mantisses est le cardinal de l'intervalle [1; 9.99999999999] (en sachant que chaque nombre a 11 chiffres après la virgule au maximum. est-ce ça ?

Non ! Les calculettes scientifiques représentent les nombres sous la forme :
(par exemple 1/3) 3.33333333333 -01, ce qui signifie 3.33333333333.10^-1
Eh bien la mantisse de ce nombre (dans cette représentation) est 3.33333333333 et l'exposant de ce nombre est -1.

Si tu calcules 10/3, tu trouveras 3.33333333333 00, soit 3.33333333333.10^00. On constate que les deux nombres ont la même mantisse : 3.33333333333 et des exposants différents.

Le concept t'est forcément familier, représenté par un mot arabe ; à présent tu connais le mot en français.

Si 1.1 1/x 1/x donne bien 1.1, alors 11 110 1100 11000 vont donner le même type de résultat. D'où mon intéret uniquement pour les mantisses.

@+

Posted by: pianozik

Je vous remercie vraiment, j'avais déjà ça en physique, mais le terme en arabe je n'y jamais penser et par conséquent je le connais qu'en Français mnt, mais je demanderai au prof de la traduction dès la rentrée, je te remercie encore

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par pianozik

Je vous remercie vraiment, j'avais déjà ça en physique, mais le terme en arabe je n'y jamais penser et par conséquent je le connais qu'en Français mnt, mais je demanderai au prof de la traduction dès la rentrée, je te remercie encore

De rien !

Posted by: Chimerade

Bonjour à tous !

Il me semble que c’est « Non inscrit 02/08/2005, 18h03 » qui a mis le doigt sur le point important, en faisant intervenir le nombre $\Large N=10^{23}$ . Dommage qu’il n’ait pas pu poursuivre.

En ce qui concerne ma solution, je commence par dire que le problème, apparemment sur les mantisses, peut être considéré comme un problème sur les nombres entiers, donc d’arithmétique pure. Le problème équivaut à trouver les invariants parmi l’ensemble E des nombres {100 000 000 000,…,999 999 999 999} de la fonction f ° f, si f(i) désigne le quotient de la division euclidienne de $\Large 10^{23}$ par i.

La fonction f ne donnant pas toujours des résultats dans E, j’exclue les dix nombres 100 000 000 000 et 999 999 999 991 à 999 999 999 999 qui sont des cas particuliers que je traite à part, de manière instantanée d’ailleurs. Soit E’ l’ensemble E privé de ces dix nombres.

Je montre ensuite que l’ensemble des invariants de f ° f sur E’ est confondu avec f(E’).

Et enfin, je trouve le cardinal de f(E’), auquel j’ajoute 1, pour prendre en compte le nombre $100 000 000 000$ , exclu du raisonnement, mais qui répond à la question.

Posted by: mathador

... tu avais dit niveau 3ème il me semble

Niveau 1ère S en fait, avec de l'astuce

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par mathador

... tu avais dit niveau 3ème il me semble

Niveau 1ère S en fait, avec de l'astuce

Je savais que tu allais dire ça. Le langage choisi n'est pas du niveau de troisième, certes. Mais tout cela peut être dit, en plus de mots, évidemment, dans un langage accessible à un bon 3-ième...

Posted by: Alpha

Du moment où l'on a droit au nombre de mots que l'on veut, n'importe quelle chose peut s'expliquer avec le langage d'un bon 3ème.