DM de Maths sur les suites

[veronica]

Bonjour, j'ai un DM de Maths et je n'étais pas présente au cour c'est donc pour moi un peu incompréhensible c'est de niveau Terminal S. Toute aide est la bienvenu MERCI

A) Etude de deux suites

On pose, pour n1,
Un=1+1/1!+1/2!+...+1/n! et Vn=Un+1/nn!.
On rappelle que n!=1*2*3...(n-1)n est le produit des n premiers nombres entiers non nuls.

1) Vérifier que U1=2, V1=3. Calculer U2, U3, V2 et V3.
2) Montrer que (Un) est croissante et que (Vn) est décroissante.
3) Etudier lim 1/nn!
n tend vers infini
En déduire que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
4) On note l leur limite commune. Déterminer un encadrement de l d'amplitude inférieure à 10^-3.
Peut-on conjecturer la valeur de l?

B) Calcul exact de l

Soit n entier fixé (n1).
On pose, pour x(0,1), f(x)=(1+x/1!+x^2/2!+...+x^n/n!)e^-x.

1)a) Calculer f(0) et vérifier que f(1)=Une^-1.
b) Montrer que f est dérivable sur (0,1) et que f'(x)=-(x^n/n!)*e^-x

En déduire que Une.
2) On pose, pour x(0,1): g(x)=f(x)+x/n!.

a) Calculer g'(x) et montrer que g est croissante sur (0,1).
b) En déduire que e-(e/n!)Un.
3) Déduire des questions 1) et 2) la valeur exacte de l.

C) e est irrationnel

Formulons l'hypothèse que e est rationnel, c'est à dire qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que e=p/q.

1) Justifier l'encadrement Uq < p/q < Vq.
En déduire que l'entier N=pq!-qq!Uq vérifie 0 < N < 1.
2) Conclure que e est un nombre irrationnel.