Bonsoir,
Je bloque sur une question de mon DM de math (c'est la première)
Voici l'énoncé:
On définit les suites U et V par U0=3, V0=5 et, pour tout entier naturel n,
U(n+1)=(2Un*Vn)/(Un+Vn) (1)
V(n+1)=(Un+Vn)/2 (2)
1) Montrer que les termes des suites U et V sont strictement positifs
J'ai voulu utiliser la méthode par récurrence, mais je bloque:
J'ai fait:
"Soit P(n): U(n+1)>0 la prop à démontrer pour tout nN
-étape 1:
U0=3 donc U0>0
dc P(n) vraie au premier rang
-étape 2
On supose P(n) vraie au premier rang, càd U(n+1)=(2Un*Vn)/(Un+Vn)
Montrons alors qu'elle est vraie au rang (n+1), càd
U(n+2)=(2 U(n+1) * V(n+1) )/ (U(n+1) +V(n+1) )>0"
J'ai ensuite remplacé, dans U(n+2), les U(n+1) et V(n+1) par (1) et (2), par hypothèse de récurrence
Mais j'obtiens, après simplification:
U(n+2) = (4 Un*Vn*(Un+Vn) )/( 4UnVn + (Un+Vn)² )>0
Je ne vois pas comment faire pour la suite
J'ai le même problème pour V(n+2), où j'obtiens (à partir du meme raisonnement que U(n))
V(n+2) = (4Un*Vn+(Un+Vn)²)/(4(Un+Vn)
Pourrait-on m'aider s'il vous plait?
Merci par avance
Cbaz