DM math: suites par récurrence (term S)

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Cbaz
Membre Naturel
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Enregistré le: 06 Mar 2006, 14:36

DM math: suites par récurrence (term S)

par Cbaz » 12 Déc 2008, 21:02

Bonsoir,

Je bloque sur une question de mon DM de math (c'est la première)
Voici l'énoncé:

On définit les suites U et V par U0=3, V0=5 et, pour tout entier naturel n,
U(n+1)=(2Un*Vn)/(Un+Vn) (1)
V(n+1)=(Un+Vn)/2 (2)

1) Montrer que les termes des suites U et V sont strictement positifs

J'ai voulu utiliser la méthode par récurrence, mais je bloque:

J'ai fait:

"Soit P(n): U(n+1)>0 la prop à démontrer pour tout n€N

-étape 1:
U0=3 donc U0>0
dc P(n) vraie au premier rang

-étape 2
On supose P(n) vraie au premier rang, càd U(n+1)=(2Un*Vn)/(Un+Vn)
Montrons alors qu'elle est vraie au rang (n+1), càd
U(n+2)=(2 U(n+1) * V(n+1) )/ (U(n+1) +V(n+1) )>0"

J'ai ensuite remplacé, dans U(n+2), les U(n+1) et V(n+1) par (1) et (2), par hypothèse de récurrence

Mais j'obtiens, après simplification:

U(n+2) = (4 Un*Vn*(Un+Vn) )/( 4UnVn + (Un+Vn)² )>0

Je ne vois pas comment faire pour la suite

J'ai le même problème pour V(n+2), où j'obtiens (à partir du meme raisonnement que U(n))
V(n+2) = (4Un*Vn+(Un+Vn)²)/(4(Un+Vn)


Pourrait-on m'aider s'il vous plait?
Merci par avance

Cbaz



JulienJu
Messages: 2
Enregistré le: 12 Déc 2008, 20:52

par JulienJu » 12 Déc 2008, 21:30

U(n+1)=(2Un*Vn)/(Un+Vn) (1)
V(n+1)=(Un+Vn)/2 (2)

Le Chaton
Membre Irrationnel
Messages: 1335
Enregistré le: 12 Oct 2008, 21:00

par Le Chaton » 12 Déc 2008, 23:55

Bonsoir,
Tu peux essayer : supposons et positifs montrons que et sont aussi positifs.
Sachant que et sont composés de somme et de produits de et ça devrait aller assez vite.

Cbaz
Membre Naturel
Messages: 41
Enregistré le: 06 Mar 2006, 14:36

par Cbaz » 14 Déc 2008, 15:19

Ce que tu veux dire par là, c'est que, par récurrence, je démontre simultanément que U et V sont strictemetns positifs?

Cbaz
Membre Naturel
Messages: 41
Enregistré le: 06 Mar 2006, 14:36

par Cbaz » 14 Déc 2008, 15:24

C'est bon! j'ai trouvé, en fait, merci Le Chaton, pour l'aide!

 

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