Mathématiques - divisions de polynomes

divisions de polynomes
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Posted by: gol_di_grosso

boujour,

On veut décrire tous les polynômes $P \in R[X]$ tels que $P+1$ soit divisible par
$(X - 1)^4$ et $P-1$ soit divisible par $(X + 1)^4$ .

Et je dois montrer que si le problème admet une solution, alors il en admet une de degré inférieur à 8

déjà on a ça :
P+1 = 0 (mod $(X-1)^4$ )
P-1 = 0 (mod $(X+1)^4$ )

Je penses que le plus simple serait de trouvé un truc de la forme A=BQ + P avec deg B = 8 mais je n'y arrive pas...

des idées ?

Posted by: ThSQ

$(X-1)^4$ et $(X+1)^4$ sont premiers entre eux.
Bezout : il existe U et V de degree < 4 tels que $U*(X-1)^4 + V*(X+1)^4 = 1$ .

Alors $P(X) = (U*(X-1)^4 - V*(X+1)^4)/2$ est une solution et elle est de degré < 8.

Edit : d'ailleurs c'est pas la peine de diviser par 2, mais bon.
Edit2 : se relire avant de poster nawak

Posted by: gol_di_grosso

merci
mais comment tu sais que c'est inférieur à 3 ?

Posted by: ThSQ

J'm'a gouru, c'est < 4 (et pas < 3) et c'est Big Bizout qui nous le dit !

Posted by: aviateurpilot

on a $(x+1)^4|p(x)-1$ et $(x-1)^4|p(x)+1$
donc $(x+1)^3|p'(x)$ et $(x-1)^3|p'(x)$ et $p(-1)=1,p(1)=-1$
d'ou $(x-1)^3(x+1)^3|p'(x)$
donc $\exist Q\in\mathbb{R}[X]:\ p(x)=c+\int_{0}^{x}Q(x)(x^2-1)^3 dt$ avec $c+\int_{0}^{1}Q(x)(x^2-1)^3=-1$ et $c+\int_{0}^{-1}Q(x)(x^2-1)^3=1$

Posted by: gol_di_grosso

bon merci
je vais m'inspirer de la solution de ThSQ en développant un peux