Division de polynômes.

[GengisKhan]

Bonsoir, j'ai un exercice sur les polynômes à faire pour ma première année mais je bloque.
C'est une division de polynômes en gros, voici l'énoncé ;


Déterminer tout les polynômes à coéfficients réels en la variable x, du 5ème degré, divisibles par (x²+1), dont le terme indépendant est nul, et dont le reste de la division par (x+1) est égal à la fois au reste de la division par (x+3) et au reste de la division par (x-3).

En gros j'pense avoir trouvé la piste plus ou moins ça donne;

(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x) = (x+1).(ax^4 + bx^3...) + R

J'ai essayé de faire ça avec (x+1), (x+3) et (x-3) mais j'bloque. J'pensais arriver à trouver le reste et puis de là essayer de faire P(x) = (x²+1).Q(x)+ R, en ayant trouvé le R me resterait plus que l'inconnue Q(x).


Et c'est là que je bloque. J'essaye de faire une égalité du Q(x) de la division par (x+1) et celui de (x+3) mais j'obtiens a=e, d= -3, et le reste je tombe dans une pyramide d'inconnues où à chaque ligne j'ai une nouvelle inconnue.

Quelqu'un pourrait au moins m'indiquer si je suis sur la bonne piste ? Ou m'aiguiller un peu ?

Merci de m'accorder de votre temps, bien à vous.

[Luc]

Salut,

c'est quoi le terme indépendant?
Sinon comme X^2+1 divise ton polynôme du 5ème degré P, forcément P est à chercher sous la forme

[GengisKhan]

Le terme indépendant est nul.

Je comprends qu'au final il faille trouver le polynôme P sous la forme que tu décris mais je ne vois pas trop comment y arriver..

[Luc]

Le terme indépendant est nul.

Je comprends qu'au final il faille trouver le polynôme P sous la forme que tu décris mais je ne vois pas trop comment y arriver..

Qu'appelles-tu le terme indépendant? Je ne sais pas ce que c'est.
On ne trouves pas P sous cette forme, on le cherche sous cette forme. Simplement parce que l'énoncé dit que X^2+1 divise P. Ensuite, on peut commencer à traduire les hypothèses du problème, et à déterminer les coefficients inconnus.

[GengisKhan]

Tu viens de me faire voir le problème sous un autre point de vue, même si ça ne m'avance pas tellement haha.

Le terme indépendant c'est le dernier terme de P(x), celui qui n'a pas de variable x. Dans x^3 + x² + x + 1; bah c'est le 1. En belgique on appelle ça comme ça :)