Division euclidienne de polynômes
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MacManus
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par MacManus » 24 Aoû 2009, 16:53
Bonjour
Pour tout couple (a,b) de réels et pour tout x réel, on définit une fonction polynômiale P de la manière suivante : P(x)=a+bx
Je cherche à calculer le reste Rn(x)de la division euclidienne de (P(x))^n par x^2 -1, pour tout entier n supérieur ou égal à 2.
Je ne parviens pas à calculer ce reste... j'ai utiliser la formule du binôme de Newton pour développer l'expression (a+bx)^n , mais je ne sais pas comment m'y prendre ensuite pour effectuer la division.
Merci pour votre aide
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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 24 Aoû 2009, 16:57
Commences par poser
Réfléchir au degré de Q et de R et à des valeurs particulières qu'ils peuvent prendre, et ça te fera avancer.
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MacManus
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par MacManus » 24 Aoû 2009, 17:05
Merci je vais y réfléchir. Je pense que tu voulais mettre Q(x) à la place de P(x) ?
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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 24 Aoû 2009, 17:07
oui excuses. effectivement P est déjà utilisé donc :
et par exemple R(x) est de degré ... ?
et prends quelles valeurs pour x=1 et -1 ?
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MacManus
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par MacManus » 24 Aoû 2009, 17:15
Le degré de R doit être strictement inférieur au degré de B, donc deg(R)= 0 ou 1.
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MacManus
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par MacManus » 24 Aoû 2009, 17:17
On a également :
R(1)= (a+b)^n
R(-1)=(a-b)^n
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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 24 Aoû 2009, 17:20
Donc déjà tu connais R(x) puisqu'il est de degré 1 et que tu connais 2 de ses valeurs.
On ne te demandait que le reste ? on ne demandait pas Q ?
Donc en fait tu as pratiquement terminé ton exercice
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Nightmare
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par Nightmare » 24 Aoû 2009, 17:24
Salut,
sinon tu peux donner le reste de X^k par X²-1 selon les valeurs de k puis utiliser l'expression de (P(x))^n dans la base canonique (binôme de Newton)
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MacManus
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par MacManus » 24 Aoû 2009, 17:29
Mais comment savoir si R(x) est de degré 1 ou 0 ??
(On demande de calculer le reste uniquement oui)
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MacManus
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par MacManus » 24 Aoû 2009, 17:35
Ok j'ai compris pourquoi le degré de R est 1 merci
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MacManus
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par MacManus » 24 Aoû 2009, 17:43
Merci Ericovitchi. J'ai trouvé que le reste Rn(x) est défini par :
1/2((a-b)^n-(a+b)^n) + 1/2((a-b)^n+(a+b)^n)x
:++:
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