Divisibilité

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Posted by: lapras

Bonsoir,
Montrer que
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2^(n-1) divise n! <=> n = 2^k



Posted by: ffpower

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Posté par lapras
Bonsoir,
Montrer que 2^(n-1) divise n <=> n = 2^k

Pas compris,2^(n-1) est toujours plus grand que n non?ou alors c est n divise 2^(n-1),mais le resultat est evident alors,n ne peut avoir d autres facteurs premiers que 2..


Posted by: lapras

Excusez moi, décidément je fais beaucoup d'erreurs de frappes en ce moment !
C'est n! et non n que divise 2^(n-1)


Posted by: nodgim

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Posté par lapras
Excusez moi, décidément je fais beaucoup d'erreurs de frappes en ce moment !
C'est n! et non n que divise 2^(n-1)


Nombre de puissance de 2 dans n!
n/2+n/4+n/8+n/16.....+n/2^k.
Si n=2^k: 2^(k-1)+2^(k-2)...+8+4+2+1=2^k-1=n-1
Si n est différent de 2^k, il manquera au moins l'unité pour arriver à 2^k-1 puissances de 2.


Posted by: lapras

Oui c'est la formule de legendre pour les valuations p-adiques
en l'occurence
[x] <= x
(partie entiere)
en sommant on obtient 2^i <= x <= 2^i
avec i la plus grand puissance de deux <= x (la derniere partie entiere non nulle : [x/2^i]
donc x = 2^i










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