divisibilité de (n^p)-p par un nombre premier

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Posted by: BiZi

Bonjour,

Soit p un nombre premier. Montrer qu'il existe un nombre premier q tel que pour tout entier n, le nombre (n^p)-p n'est pas divisible par q.


Merci d'avance pour vos réponses.


Posted by: BiZi

Je vois que ca vous inspire beaucoup . Est-ce que vous pourriez déjà trouver des exemples de couples (q,p) vérifiant cette propriété, avec q<p? Merci d'avance.


Posted by: igor

Ben cet exo fait parti de l'un des plus durs jamais posés aux Olympiades Internationales de Mathématiques ;-). Ici, c'est l'exercice 6 de l'année 2003.


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par igor
cet exo fait parti de l'un des plus durs jamais posés aux Olympiades

oui, je vois ça


Posted by: BiZi

C'est bien ma veine ca! Moi quand je cherche des exos je prends l'énoncé le plus court possible et là je me suis fait avoir


Posted by: aviateurpilot

igor n'utilise pas google
il utilise sa memoire


Posted by: igor

Citation:
Posté par BiZi
C'est bien ma veine ca! Moi quand je cherche des exos je prends l'énoncé le plus court possible et là je me suis fait avoir


Ce sont très souvent les exercices dont l'énoncé est le plus court qui sont les plus difficiles ;-).


Posted by: BiZi

Citation:
Posté par aviateurpilot
igor n'utilise pas google
il utilise sa memoire



T'avais participé aux olympiades Igor?


Posted by: aviateurpilot

supposant que igor n'a pas participé aux olympiades.
mais peut etre qu'il a vu bcp d'exo olymapiad


Posted by: igor

Citation:
Posté par BiZi
T'avais participé aux olympiades Igor?

Oui, mais pas cette année-là.


Posted by: namfoodle sheppen

bon bizi je te donne le debut de soluce (elle est pas de moi, tout droit sortie du bouquin de paul bourgade). Tu dois distinguer deux cas:
premier cas; p=2 ===> tu prouves que q=5 convient
deuxieme ca; p different de 2. tu as (p^p)-1=(p-1)(1+...+p^(p-1))
(1+...+p^(p-1)) est impair et non congru à 1 modulo p^2. Donc il possède un facteur premier impair non congru à 1 modulo p^2. Notons le, au hasard, q.
Tu dois prouver par l'absurde que q convient pour le problème. Même avec cette indication ça reste pas évident; mais ça devient faisable (achete le bouquin de Paul Bourgade il est super).










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