diviseurs de la forme 4k+1 et 4k-1
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Posted by: mt2sr
je vous propose l'exercice suivant que j'ai pas encore résolu
soit n un entier
Montrer que les diviseurs de n² de la forme 4k+1 et plus nombreux que ceux de la forme 4k-1
Posted by: fahr451
bonjour
on écrit la décomposition de n en produit de facteurs premiers
n= 2^a(0) p1^a(1)...pr^a(r) q1^b(1)...q(s)^b(s)
avec
a(0) entier
p1,...,pr premiers congrus à 1 mod 4
q1,...,qs premiers congrus à -1 mod 4
un diviseur de n^2 est
de la forme
2^a'(0) p1^a'(1)...q(s)^b'(s)
avec 0=<a'(0)=<2a(0) ,...,0=< b'(s)=<2b(s)
le diviseur est congru à -1 mod 4 ssi a'(0) = 0 et b'(1)+...+b'(s) impair
et à 1 mod 4 ssi a'(0)= 0 et ... pair
ds le premier cas l'un des b ' (i0) est nécessairement impair et alors
en prenant 1+b'(i0) (possible car la valeur maxi autorisée de la puissance est paire) on obtient un divieur congru à 1 mod 4
l'application construite est clairement injective
il y a donc plus ( au sens large) de diviseurs du deuxième type
Posted by: mt2sr
où sont l'ensemble de départ et d'arrivé de l'application et comment vous liez les élements
Posted by: mt2sr
je crois que l'application n'est pas bien définie
Posted by: fahr451
mais si
ensemble de départ ensemble des diviseurs congrus à -1
d'arrivée ... à 1
en prenant le plus petit indice i0 avec b ' (io) impair
l e lien est écrit on rajoute +1 à b' (io)
Posted by: mt2sr
le plus grand des i0 marche aussi
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