Mathématiques - Diviseur premier

Diviseur premier
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: hamdo

Salut pour tous,
Soit $a_{{n}}= \left( n! \right) ^{2}+1$ pour tout entier n>1
Pourquoi $a_{{n}}$ admet un diviseur premier supérieur strictement à n?
Merci

Posted by: aviateurpilot

si $p\le n$ alors $p|(n!)^2=(1\times 2\times 3....\times (p-1)\times p\times (p+1)...\times n)^2$
donc $p|(n!)^2=a_n-1$ d'ou $p\not|a_n$
alors si $p|a_n$ forcement $p> n$

on a meme montrer que tous les diviseurs premier de $a_n$ sont superieur à $n$

Posted by: hamdo

Merci bcp aviateurpilot

Posted by: ThSQ

Bonus track pour les amateurs de réciprocité : montrer qu'on peut toujours trouver un diviseur de la forme 4k+1

Posted by: raito123

Mwé ThSQ je la reconnais celle ci !

Cependant on a montrer que si p| a_n alors p > n mais peut-on montrer que a_n n'est pas premier !?

Posted by: nodgim

Pourtant (3!)²+1=37 est premier!

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par ThSQ

Bonus track pour les amateurs de réciprocité : montrer qu'on peut toujours trouver un diviseur de la forme 4k+1

on a meme tous les diviseur premier de $a_n$ sont $>1$ et de la forme $4k+1$ .

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par ThSQ

Bonus track pour les amateurs de réciprocité : montrer qu'on peut toujours trouver un diviseur de la forme 4k+1

on a meme tous les diviseur premier de $a_n$ sont $>n$ et de la forme $4k+1$ .

Posted by: lapras

salut
remarque : un nbre premier = 1 ou -1 mod 4 (ou 2 si p = 2 mais la on s'en fiche car (n!)²+1 ne sera pas divisible par 2)

modulo 4 :
(n!)² = 0 mod 4
donc
(n!)²+1 = 1 mod 4
dans sa décomposition en facteurs premiers de (n!)²+1, supposons tous les p_i (ses diviseurs premiers) congrus à -1 mod 4 (ainsi que tous les diviseurs de (n!)²+1)
On suppose p_k le plus grand nbre premier qui divise (n!)²+1
alors
p1*p2*....*p_(k-1)*p_k = -1 [mod 4] car p1*p2*....*p_(k-1)*p_k divise (n!)²+1
mais en prenant
d = p1*p2*....*p_(k-1)
d = 1 [mod 4] et d | (n!)²+1

Posted by: lapras

Et pour aviateurpilot, démonstration que tous les diviseurs premiers de (n!)²+1 sont = 1 [mod 4]
supposons il existe p = -1[mod 4]
tel que
(n!)² + 1 = 0 [mod p]
=>
(n!)² = -1 [mod p]
=> -1 est un carré modulo p
donc
(-1)^((p-1)/2) = 1 [mod p] => (p-1)/2 est pair
donc
p = 4k + 1

Posted by: leon1789

Citation:

Posté par lapras

Et pour aviateurpilot, démonstration que tous les diviseurs premiers de (n!)²+1 sont = 1 [mod 4]
supposons il existe p = -1[mod 4]
tel que
(n!)² + 1 = 0 [mod p]
=>
(n!)² = -1 [mod p]
=> -1 est un carré modulo p
donc
(-1)^((p-1)/2) = 1 [mod p] => (p-1)/2 est pair
donc
p = 4k + 1

oui, très bien, mais à quoi sert l'hypothèse absurde << supposons il existe p = -1[mod 4] >> ??

Soit p premier (impair bien sûr) divisant (n!)² + 1 , donc -1 est un carré modulo p, donc p = 1[mod 4] !

pitié, arrêtons les raisonnement par l'absurde inutiles ;)

Posted by: lapras

Pardon je ne me suis pas relu
en fait j'allais rédiger une autre démonstration puis j'ai trouvé celle ci tres directe et tres simple j'ai donc modifié mon message et j'ai oublié d'enlever le "supposons..."
Sinon j'aime beaucoup le raisonnement par l'absurde qui sont tres souvent utiles !

Posted by: leon1789

Citation:

Posté par aviateurpilot

si $p\le n$ alors $p|(n!)^2=(1\times 2\times 3....\times (p-1)\times p\times (p+1)...\times n)^2$
donc $p|(n!)^2=a_n-1$ d'ou $p\not|a_n$
alors si $p|a_n$ forcement $p> n$

on a meme montrer que tous les diviseurs premier de $a_n$ sont superieur à $n$

oui, et une preuve directe serait :
soit d un diviseur quelconque de a_n. Alors d est premier avec n! (relation de Bezout), donc d=1 ou d > n ...

pitié pitié

Posted by: leon1789

Citation:

Posté par lapras

Sinon j'aime beaucoup le raisonnement par l'absurde qui sont tres souvent utiles !

oui je comprends, mais il est souvent intéressant de s'en passer ;-)

Posted by: lapras

je pense plutot qu'il faut favoriser le raisonnement par l'absurde. Du moins en arithmétique. La plupart (je n'ai pas beaucoup d'expérience) des exos d'arithmétique de divisibilité, de nombres premiers, etc... sont faisables assez facilement avec l'absurde.
Je pense que ce raisonnement est aussi naturel que le raisonnement direct.
Ce n'est que mon avis ! Libre à chacun de vouloir raisonner par l'absurde ou non, par récurrence ou non, etc....

Posted by: leon1789

Citation:

Posté par lapras

je pense plutôt qu'il faut favoriser le raisonnement par l'absurde. Du moins en arithmétique. La plupart (je n'ai pas beaucoup d'expérience) des exos d'arithmétique de divisibilité, de nombres premiers, etc... sont faisables assez facilement avec l'absurde.

Il y a une différence entre faire des maths et faire des exos... heu, je ne suis pas clair, je sais

Avec mon expérience (seulement personnelle, et pas universelle si je peux dire), je pense aussi qu'il peut être pratique de réaliser des pseudo-raisonnements par l'absurde au brouillon, mais que la rédaction finale gagne souvent à être en preuve directe :
-- argumentation plus universelle parfois (comme au-dessus : pas besoin d'utiliser des nombres premiers, mais seulement des diviseurs quelconques),
-- véracité du contenu de la preuve : par nature même, toutes les étapes d'une démo par l'absurde sont "jetables" une fois la preuve terminée (contrairement à celles d'une preuve directe),
-- dans certains cas plus grande précision du résultat : des fois, la preuve directe apporte plus de renseignements que prévu. Un raisonnement par l'absurde, jamais.
-- sans parler d'esthétisme...

(Je parle de preuves qui font plus d'une ligne bien sûr.)

En revanche, je ne dis pas qu'une preuve directe est plus simple qu'une preuve par l'absurde car c'est parfois faux.

Citation:

Posté par lapras

Je pense que ce raisonnement est aussi naturel que le raisonnement direct.
Ce n'est que mon avis ! Libre à chacun de vouloir raisonner par l'absurde ou non, par récurrence ou non, etc....

Si tu avais raison, certains lycéens n'auraient pas autant de mal face au raisonnement par l'absurde, assez "surprenant" (confondant ça avec la réciproque, etc.)

Il faudrait encore définir ce qu'est un raisonnement direct et un raisonnement par l'absurde. En fait, on fait souvent des "faux" raisonnements par l'absurde, qui sont en réalité des "vrais" raisonnements directs de la propriété contraposée. Pour moi, c'est révélateur de la "nature" des choses.

Posted by: lapras

Je suis d'accord qu'un raisonnement direct sera parfois plus riche qu'un raisonnement par l'absurde dans le sens où on doit passer par des lemmes intermédiaires, etc... qui pourront servir par la suite, contrairement au raisonnement par l'absurde.
Pour l'esthétisme, c'est subjectif, je pense que ca dépend des démonstrations mais en général j'ai remarqué (encore une fois je parle avec tres peu d'expérience et cet avis ne regarde que moi) que les démonstrations par l'absurde en arithmétique étaient (souvent) belles.
Et pour les lycéens qui ont du mal avec l'absurde, je ne peux pas te répondre je ne sais pas pourquoi. Et puis ce qui est naturel est subjectif là aussi.
De toute facon il faut choisir le bon raisonnement en fonction de l'énoncé, si le raisonnement par l'absurde semble avantageux je n'hésiterai pas à l'utiliser, et pareil pour le raisonnement direct.