Distributivité intersection et addition

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zemalabare
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distributivité intersection et addition

par zemalabare » 01 Déc 2008, 15:09

bonjour a tous,

j'ai un exo où l'on me demande de montrer que :

(F n G)+(F n H)= F n (G+(F n H))

avec comme hyp "soit E un K-ev. Soient F,G,et H trois sev de E."

j'ai essayé la double inclusion, je n'y arrive pas ... j'ai essayé de prendre un élément d'un des 2 ensembles, arrive pas ... j'ai essayé raisonnant avec des ensembles, :'( ... :mur: quelqu'un aurait une point de départ svp :cry:



zemalabare
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par zemalabare » 01 Déc 2008, 15:30

:id: hum j'ai repris les double inclusion et j'ai un début de réponse, si quelqu'un pourrait me dire si c'est juste :hum:

dans ce sens : (F n G)+(F n H) inclue dans F n (G+(F n H))

(F n G) inclue dans G
donc (F n G)+(F n H) inclue dans G+(F n H) tèrs légé doute, mais me semble que c'est bon

aussi

(F n G) inclue dans F
(F n H) inclue dans F
donc (F n G)+(F n H) inclue dans F gros gros doute :briques:

mais si c'est bon alors on peut conclure :(F n G)+(F n H) inclue dans F et (F n G)+(F n H) inclue dans G+(F n H) donc (F n G)+(F n H) inclue dans F n (G+(F n H)) :zen: good? :)

Doraki
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par Doraki » 01 Déc 2008, 15:32

La double inclusion est pas trop dure...

Prouver que (F n G)+(F n H) est inclus dans F n (G+(F n H)) est le plus facile des deux, vu que ça se décompose en 4 inclusions faciles
F n G inclus dans F
F n H inclus dans F
F n G inclus dans G + (F n H)
F n H inclus dans G + (F n H)

L'autre sens est un peu plus dur, il faut prendre un élément dans F n (G + (F n H)) et montrer qu'il est dans (F n G) + (F n H) :

Soit x dans G et y dans F n H tel que x+y est dans F, il faut montrer que x+y est dans (F n G) + (F n H), par exemple en montrant que x est dans F n G et que y est dans F n H.

---

Pour dissiper tes doutes, faut que tu fasses une petite preuve:
Si A et B sont inclus dans C (espace vectoriel) alors A+B est inclus dans C.
(soit x un élément de A+B. x se décompose en y+z avec y dans A et z dans B, il faut alors montrer que y+z est dans C... )

zemalabare
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par zemalabare » 01 Déc 2008, 15:53

merci Doraki, alors j'ai trouvé ceci comme résultat

Soit g € G et x € (F n H) tel que g+x € F
donc g+x € [F n (G+(F n H))]
or g € G donc g € FnG et x € FnH donc g+x € (F n G) + (F n H)

c'est bon? :we:

et juste une tite question, l'hypothèse que j'ai écrite en verte ... c'est pour qu'on est bien un élément appartenant a ce qui est écrit en rouge, parce que sinon ca ne marche pas? :marteau:

Doraki
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par Doraki » 01 Déc 2008, 17:02

Tu le dis mal, mais oui ça vient de là. C'est un "car" et pas un "donc"
Le plus compréhensible c'est de dire :

On veut prouver que F n (G+(F n H)) est inclus dans (F n G) + (F n H).
Soit x dans F n (G+(F n H)).
Donc x est dans F, et x est dans G+(F n H).
Donc x peut s'écrire comme y+z avec y dans G et z dans F n H.
L'hypothèse x est dans F devient alors que y+z est dans F.

Et à partir de là tu veux montrer que y+z est dans (F n G) + (F n H) sachant que y+z est dans F, que y est dans G et que z est dans F n H.

C'est un énoncé équivalent à l'énoncé initial mais en simplifié puisqu'on a décomposé un truc complexe en des petites hypothèses simples.

Bon à part ça, ton "or g est dans G donc g est dans F n G" laisse beaucoup à désirer. Où est-ce que tu montres que g est dans F ?

zemalabare
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par zemalabare » 01 Déc 2008, 17:31

OMG :hein: la grosse bourde, bon je la refait:

Soit x € F n (G+(F n H)).
donc x € F et x € {G+(F n H)}
donc x s'écrit x=g+z avec g € G et z € (FnH) (et rappel g+z € F)
comme z € (FnH) donc il appartient a F et F est sev de E et x € F d'où g € F car x=g+z.
g € G et € F donc g €(FnG) et z €(FnH) donc g+z € (FnG)+(FnH)

j'espère qu'il n'y plus d'erreur la ;p

merci doraki :)

 

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