Distance, norme.

[heaven]

Bonjour, je fais un TIPE sur les p-adiques, nombres construit pour compléter Q mais pas avec la même distance que pour R. J'ai du mal à comprendre toutes les subtilités autour de la norme, la distance et tout ca:

Pour moi la distance c'est la norme de la différence. Mais j'ai cru entendre ma prof de math dire qu'il y avait des distances sans norme ou l'inverse je sais plus. Du coup je ne pense pas avoir tout compris et je pense qu'elle va me coincer la dessus.

Aussi c'est quoi la nuance entre valeur absolue et norme?

On peut avoir une norme dans n'importe quel ensemble du moment que cette fonction réponde aux caractéristiques?

Voila si vous pouviez me donner des détails la dessus je vous en serrai très reconnaissante. J'ai compris le principe mais je ne pense pas connaitre tout les details et conditions d'existance.

[Daniel-Jackson]

D'après ce qu eje sais la notion de norme désigne une distance qu'on utilise dans les espaces vectoriels
Une distance peut être définie sur n'importe quel ensemble .

[Daniel-Jackson]

Aussi c'est quoi la nuance entre valeur absolue et norme?

Pour moi le terme de "valeur absolue" est bien spécifique à R, il y'a dérrière la terminolgie , le fait d'accorder un sens aux nombres négatifs. Enfin je me trompe peut être mais, là elle coincide avec la norme car c'est un espace vectoriel.

Mais ce qu'il faut retenir c'est que quand on parle de norme on parle de vecteur , donc d'un espace vectoriel .

[kazeriahm]

bon alors :

si E est un ensemble quelconque,

une norme sur E est une application de E dans R+ qui verifie certaines propriétés que tu connais. Cependant, l'existence d'une telle application suppose que l'on sache additionner des éléments de E et multiplier les élements de E par un scalaire, ce qui fait de E un espace vectoriel.

Ainsi les normes n'existent que sur des espaces vectoriels. On parle alors d'espace vectoriel normé.

La valeur absolue est une norme sur l'espace vectoriel R.

Si N est une norme sur un espace vectoriel E, alors l'application (x,y)->N(x-y) est une distance sur E.

Donc dès que tu as une norme tu as une distance.

Parcontre la reciproque est fausse, il existe des ensembles munis d'une distance, qui ne sont pas des espaces vectoriels et sur lesquels ne peuvent etre placés de norme. On parle d'espace mètrique.

Une distance très simple, qui peut etre placée sur n'importe quel ensemble est la fonction (x,y)-> 1 sur x est différent de y, 0 sinon.

J'éspère t'avoir suffisament éclairé.

[fahr451]

bonjour
tout est question de définition

1 distance sur un ensemble E qui sera appelé espace Métrique.

d : ExE ->R+ (x,y) ->d(x,y)
vérifiant
1 symétrique d(x,y) = d(y,x)
2 définie d(x,y) = 0 ssi x = y
3 inégalité triangulaire
______________________________

norme sur un R ou C ev E (E sera dit espace vectoriel normé evn)
ll ll

E->R+ x-> ll xll
1) définie ll xll = 0 ssi x = 0
2) ll a x ll = l al ll xll pour a scalaire et x vecteur l l désigne valeur absolue ou module suivant les cas

3 ) inégalité triangulaire
____________________
pour E = R , la valeur absolue est un exemple de norme
____________________________
distance associée à une norme
pour ll ll norme sur un evn

d(x,y) = ll x-yll est une distance sur E dite distance associée à ll ll

rem il existe des distances qui ne sont associées à aucune norme .

[heaven]

Merci beaucoup! J'ai eu les réponses que je cherchais! :++: Je passe demain à l'oral :cry:, j'éspere que ça va aller!

Merci encore et @bientôt! :we:

[Yipee]

Tiens, je serais intéressé à voit ton TIPE sur les nombres p-adiques (cela me rappelera ma jeunesse). Tu as tapé quelquechose ?

Merci

[heaven]

oui bien sur, http://heavenmusik.free.fr/travail/Les%20p-adiques.pdf

Avec tout plein de fautes d'orthographes et une demo fausse au milieu ^^. Mais vous pouvez admirer mon magnifique arbre