Distance à l'origine (LOGARITHME)

[Mathilda13]

Bonjour à tous,
Je vous expose mon probleme. J'ai un DM de math à résoudre, habituellement je m'en sort assez bien car les DM sont bien la seule chose qui me remonte la moyenne de mathématiques mais cette fois-ci j'ai un soucis :help:
Mon dernier DM portait sur les exponentielles, celui-ci sur les logarithmes..
J'aimerai de l'aide de manière à comprendre et resoudre ce probleme:


Distance à l'origine

Soit C la courbe représentative de la fonction x lnx dans un repere orthogonal (O;,) du plan. On se propose d'etudier le minimum de la distance de C à l'origine d repere.

1) Soit M un point de C d'abscisse x. Exprimer d(O;M) en fonction de X.

2) Justifier que les fonctions x l---> d(O;M) et x l---> x² +( lnx)² ont les même variations.

3) On appelle f la fonction definie sur l'intervalle ]0;+inf[ par f(x) = x²+(lnx)²

a/ Calculer f'(x) et montrer que le signe d f'(x) sur l'intervalle ]0;+inf[ est celui de x²+lnx.

b/ On appelle g la fonction definie sur l'intervalle ]0;+inf[ par g(x) = x² + lnx.
Etudier les variations de g et preciser ses limites en 0 et +inf .

c/ Demontrer que l'équation x² + lnx = 0 admet, sur l'intervalle ]0;+inf[, une solution unique notée (alpha) dont on donnera une approximation decimal a 10^-3 près.

d/ En deduire le signe de f'(x), puis l''existence pour f d'un minimum unique.

4) a/ Montrer que la distance minimale de 0 à C est (alpha)racine carré (1+alpha²).

b/ Soit M(0) le point de C pour lequel ce minimum est atteint. Montrer que (OM(0)) et la tangente à C en M(0) sont perpendiculaires.


Merci d'avance pour votre aide ! ! ! :++:

[Mathilda13]

Pour le début j'ai (en résumant):

M(x;lnx) donc OM² = (xM)²+(yM)² = (x)²+(lnx)²

d'où

d(O;M) = racine_carrée(OM²)

Or racine_carrée est une fonction croissante donc d(O;M) et x²+lnx ont les même variations.

Ensuite j'ai un soucis avec ma derivée, car le signe de la derivée ne correspond pas avec les variations de f(x) notée sur la calculatrice.. :briques: ^^