Discuter un système d'équations

[alex27]

Bonjour,
pouvez vous m'expliquer comment discuter un système d'équations?

Par exemple:
Discuter le système d'équations linéaires de paramètre m suivant:
--
| 2mx+2y=4
| x+my=2
--

Merci et bonne journée.

[bombastus]

Bonjour,

discuter un système d'équations, c'est donner le nombre de solutions (et donner les solutions si elles existent) en fonction de la valeur de m. Et pour trouver le nombre de solution, il faut calculer ...

[alex27]

Merci mais je ne suis pas sur d'avoir tout compris.
Nous utilisons la méthode de Gauss pour résoudre...

Donc la matrice:
2m 2 | 4
1 m | 2

Par la méthode de Gauss, j'arrive finalement à la matrice:
1 m | 2
m 1 | 2

Je vois que si m=1, x+y=2 et x+y=2, j'obtiens donc deux fois la même équation.
Si m=-1: x-y=2 et y-x=2

Mais ce sont deux cas particulier, je ne vois pas comment trouver la solution générale?

Dire que x+my=2 suffit?

J'attends vos réponses, merci encore!

[bombastus]

Je vois que si m=1, x+y=2 et x+y=2, j'obtiens donc deux fois la même équation.

Donc le système admet combien de solution?

Si m=-1: x-y=2 et y-x=2

Donc le système admet combien de solution?

Et si m1 et m-1, le système admet combien de solution? Et quelles sont ces solutions en fonction de m?

[alex27]

Je dirais:
1) Si m=1, le système admet une infinité de solutions :
{(x,2-x) tel que X appartient à R}

2) Si m=-1, le système n'a pas de solutions

3) Si m est différent de 1 et -1 je ne vois pas quoi dire......

Peux tu me dire si 1 et 2 sont justes et m'aider pour 3?

Merci d'avance.

[bombastus]

Ok pour la 1 et la 2.

Avant de continuer, une petite explication sur les valeurs de m que tu as trouvé. Tu t'en doutes, tu n'es pas censé les deviner ces valeurs, alors d'où viennent-t-elles? Et bien ton système d'équation admet un couple unique de solutions si :
le déterminant de :
2m 2
1 m
est non nul (voir cours du lycée, et du supérieur pour n équations(n>2)).En calculant ce déterminant, tu trouveras qu'il est nul pour m=1 ou -1. Or si le déterminant est nul, le système admet soit une infinité de solution (m=1) soit pas de solution (m=-1).

Et si le déterminant est non nul, le système admet un couple de solution unique, à toi de les calculer en fonction de m.

[alex27]

Le déterminant de la matrice vaut : 2*(m²-1) m et donc ça permet de trouver m=-1 et m=1 mais peux tu m'expliquer comment on arrive a trouver ce déterminant (je l'ai trouvé sur un site internet) mais je n'ai pas trouver la méthode qui permet de trouver: 2*(m²-1)?

Merci d'avance.

[bombastus]

Le déterminant d'une matrice de dimension 2 de type :


est :

Ca se complique quand la dimension de la matrice augmente mais pour le cas de dimension 2, c'est trivial. Y a plus qu'à...

[fatal_error]

Bonjour,

pour le déterminant:
2mx+2y=4
| x+my=2
ecriture matricielle:


det(A)=2m*m-2*1=2(m^2-1)

[alex27]

Ok pour le déterminant, pour m=1 et pour m=-1

Mais pour m différent de 1 et -1... pouvez vous me donner la solution?

J'ai un test demain après midi la dessus et j'aimerais savoir.

Merci

[fatal_error]

Pour trouver les valeurs de x et y en fonctions de m, pour , tu peux utiliser (entre autres) la méthode de Cramer

Sinon, tu peux utiliser l'inversion de matrice (le déterminant est non nul):

[ffpower]

ou tout simplement tu resous comme si m était un nombre.Tu exprime x en fonction de y dans une des equations et tu rmplace dans l autre