Discontinuité classique !!

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Posted by: fenecman

Bonsoir, je me posais la question si il était possible de montrer directement que la fonction de dirichlet ( 0 si Q , 1 si R\Q) est discontinue en tout point sans passer par le "mot" Riemann intégrable ?


Posted by: ThSQ

c'est vraiment évident qu'elle n'est continue nulle part, sans passer par Riemann (?).

Pour tout x il existe y # x et aussi près que l'on veut de x tel que |f(x)-f(y)| >= 1.


Posted by: xyz1975

Bonjour,
Mais bien sûr.


Posted by: fenecman

C'est la densité de Q dans R ou de R\Q dans R en fait?
Jpreferais être sûr à 100% pour cette histoire bien que trivial je vous l'accorde!...


Posted by: Babe

Citation:
Posté par fenecman
C'est la densité de Q dans R ou de R\Q dans R en fait?
Jpreferais être sûr à 100% pour cette histoire bien que trivial je vous l'accorde!...

les maths ne sont qu'une suite de trivialité ...


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par fenecman
C'est la densité de Q dans R


Ouep


Exo : la fonction de Dirichlet est-elle la limite d'une suite de fonctions continues ?


Posted by: fenecman

Citation:
Posté par ThSQ
Ouep


Exo : la fonction de Dirichlet est-elle la limite d'une suite de fonctions continues ?

a oui jcrois que j'ai vu un truk à ce propos, un truk étonnant d'ailleurs. Ya un cosinus dans l'histoire avec un factoriel non?
C facilement démontrable? (je suppose que oui à moins que ce soit une question piège)


Posted by: ThSQ

Tu penses peut-être à : f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} \cos (\pi x)^{2n} ?


Posted by: fenecman

Citation:
Posté par ThSQ
Tu penses peut-être à : f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} \cos (\pi x)^{2n} ?

Euh moi j'avais vu ça : http://mathworld.wolfram.com/DirichletFunction.html


Posted by: fenecman

Laquelle des deux est juste alors?
Je l'a trouve jolie cette formule n'empêche ! ^^


Posted by: ThSQ

Ta formule est juste mais elle montre que \mathbb{1}_{\mathbb{Q} est la limite d'une suite de fonctions qui sont elles-mêmes limites de fonctions continues (il y deux étapes de limites).

On peut montrer que \mathbb{1}_{\mathbb{Q} n'est pas limites de fonctions continues.

"Ma" formule donne une suite de fonctions qui converge vers \mathbb{1}_{\mathbb{N}.


Posted by: fenecman

J'ai donc deux exercices pour le prix d'un !!
Pour montrer que \mathbb{1}_{\mathbb{Q} n'est pas limites de fonctions continues on entend limite simple ? parce que pour la limite uniforme c'est évident puisque la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue .?


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par fenecman
limite simple ?


Bien sûr .


Posted by: fenecman

Est-ce que je peu avoir une petite piste de départ?
Jsuppose que c'est par l'absurde (Wouuaa ), mais que dire d'une telle fonction? K'est-ce qui peut devenir absurde?


Posted by: ThSQ

A vrai dire je connais pas de démo vraiment élémentaire

(au bien avec un peu de Baire ou un peu de Lebesgue).


Posted by: leon1789

Citation:
Posté par fenecman
Est-ce que je peu avoir une petite piste de départ?
Jsuppose que c'est par l'absurde (Wouuaa ), mais que dire d'une telle fonction? K'est-ce qui peut devenir absurde?

Pourquoi supposer que c'est par l'absurde ? ...

On démontre que si f est la limite d'une suite de fonctions continues, alors f est continue sur une partie dense de R. (On peut même exhiber une telle partie de manière concrète.)

Je croyais me souvenir (mais mes souvenirs sont du siècle dernier ! ) que l'ensemble des points de discontinuité de f était au plus dénombrable... mais je dois confondre avec les limites des séries de Fourier (ou un truc comme ça)


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par leon1789
au plus dénombrable.


Intéressant. Tu aurais une référence à proposer ?


Posted by: ThSQ

Léon, je pense que c'est faux.

f(x) = x²*sin(1/x) est un exemple (The exemple !) de fonction ayant une dérivée pas continue.

Par translation et "retournement" on peut créer une fonction dérivable et continue partout sauf en deux points arbitraire.

On prend K l'ensemble de Cantor et on joint les extrémités des segments créés par une telle fonction (c'est un truc sthucieux que j'ai vu pour la construction d'une fonction monotone zarb). Elle est dérivable partout sauf sur K, non dénombrable.


Posted by: leon1789

ah oui, tu as raison !

Sans aller chercher la dérivation, mais en écrivant l'ensemble de Cantor K = \cap_n E_n (où E_n est une union d'intervalles comme on le pense...), on peut concevoir une fonction continue f_n : R \to [0,1] valant 1 sur E_n et à support dans E_n \pm 1/10^n (c'est mal dit). La suite (f_n)_n tend vers la fonction caractéristique de K...


Posted by: ThSQ

Tu as raison aussi. J'étais parti à la recherche d'une dérivée (qui est toujours une limite simple de fonctions continues) je ne sais plus pourquoi ...

C'est marrant, c'est le fait que K est totalement discontinu qui nous donne le contrex. A méditer (de préférence en cours de français, mortel ... ).










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