Directeur d'une salle de spectacle

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Posted by: dolmen

Le directeur d'une salle de spectacle voit qu'à 8 euros la place, il y aurait 500 spectateurs et il voit qu'à chaque fois qu'il diminue de 0.50 euros la place, cela lui amène 100 spectateurs de plus .
Quel tarif doit-il pratiquer pour obtenir la recette maximale ?


Posted by: scelerat

La salle fait-elle plus de 1050 places ?


Posted by: dolmen

Oui ! La salle peut contenir autant de personne qu'il faut !

Si par exemple le tarif était gratuit, il y aurait 2100 personnes !
Car, si on regarde le nombre de fois qu'il y a 0.50 euros dans 8 euros, ça donne 16
( 0.50 x 16 = 8 )

comme à chaque fois que le directeur baisse le prix de 0.50 euros il y a 100 personnes de plus : quand le prix est nul, on a 2100 personnes
( 16 x 100 = 1600 et 1600 + 500 = 21000 )

je me suis fait également un petit tableau pour résoudre cette énigme :

euros _________ personnes (spectateurs) _________ recette

8 __________ 500 ________ 8 x 500 = 4000
7.50 _________ 600 _________ 7.50 x 600 = 4500
7 _________ 700 __________ 7 x 700 = 4900

...

5.5 _______ 1000 __________ 5500
5 _________ 1100 ____________ 5500
4.50 ________ 1200 ___________ 5400
4 _________ 1300 ____________ 5200

...

0 __________ 2100 __________ 0

Avec ce tableau, on voit que c'est quand le prix est de 5.5 ou 5 euros qu'il y a une recette maximale ... le truc c'est qu'il faut le montrer mathématiquement ! Par une fonction du second degré ( la fonction est une courbe : la recette "monte" puis "descend" : voir tableau )

Merci de m'aider !


Posted by: Patastronch

On cherche a mximiser la fonction recette(n) définit par :

N -> N (l'ensemble d'arrivée est N car 500+100n est pair)
recette(n)=(500+100n)(8-0.5n)

avec n qui représente le nombre de fois ou on reduit le prix.

Procédons par relaxation de la fonction afin de rendre le probleme resolvable facilement.

Ainsi définissons la fonciton auxiliaire receteAux(x) définit :

R -> R
recetteAux(x)=(500+100x)(8-0.5x)=4000-250x+800x-50x²=-50x²+550x+4000

On dérive et on cherche les x qui annule la dérivée ( la fonction recetteAux(x) étant convexe et de second degré il est inutile de faire un tableau de variation ) :

recetteAux(x)'=0 <=> -100x+550 = 0 <=> x=5,5.

Donc recetteAux(x) est maximal en 5,5.

on en déduit que n vaut soit 5 soit 6 (car recetteAux(x) est convexe).

On calcul la valeur de recette(5) et de recette(6) :

recette(5)=5500
recette(6)=5500

Donc 5 et 6 sont solutions du problemes.


Posted by: scelerat

Moi, si j'etais le directeur, je fixerais a 5.75 pour avoir 1050 spectateurs.


Posted by: dolmen

Merci a tous pour vos réponses !

Citation:
Posté par scelerat
Moi, si j'etais le directeur, je fixerais a 5.75 pour avoir 1050 spectateurs.


Pourquoi dis-tu ça ? quels sont tes calculs ?
premièrement : le prix ne peut pas être avec virgule 75 (ici 5.75)
deuxièmement : je ne vois pas comment tu peut trouver 1050 spectateurs pour un tarif de 5.75 euros : il y aurait entre 900 et 1000 spectateurs car pour un tarif de 6 euros il y aurait 900 spectateurs et pour un tarif de 5.50 euros il y aurait 1000 spectateurs !

Citation:
Posté par patastroch
recette(5)=5500
recette(6)=5500.


Pourtant, dans mon tableau, on voit qu'il y a recette maximale pour un tarif de 5 ou 5.5 euros !
vérification :
5 x 1100 = 5500
5.5 x 1000 = 5500
6 x 900 = 5400

je n'ai pas appris les dérivés ... je ne te comprend pas toujours ...

Sur excel, j'ai tracé le graphique correspondant à cette énigme en mettant pour absisse le tarif (8; 7.5 ; 7 ; 6.5 ... ) et pour ordonnée la recette
( 8 x 500 = 4000 ; 4500 ; 4900 ... )
Je trouve dons une parabole, j'ai affiché l'équation : -200x^2 + 2100x
Je ne trouve dnc pas comme toi !

Si on prend ton équation, -50x²+550x+4000 si le tarif est de 8 euros, tu as une recette de 1350 euros au lieu de 4000 euros !
peut-être que cette équation -50x²+550x+4000 ne te servait que pour les dérivés et non pas pour calculer la recette ...


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par dolmen
Pourquoi dis-tu ça ? quels sont tes calculs ?

Pardon, j'ai fait de tete trop vite, c'est bien 5.25
La recette est de (8-x*0.5)(5+x)100, la derivee (11-2x)50 s'annule pour x=11/2,
donc un prix de 8-11/4, que j'avais calcule trop vite.
Citation:
Posté par dolmen
premièrement : le prix ne peut pas être avec virgule 75 (ici 5.75)

Ah bon ? On a retire les pieces de moins de 0.5 Euros de la circulation ?


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par dolmen
Merci a tous pour vos réponses !


Si on prend ton équation, -50x²+550x+4000 si le tarif est de 8 euros, tu as une recette de 1350 euros au lieu de 4000 euros !
peut-être que cette équation -50x²+550x+4000 ne te servait que pour les dérivés et non pas pour calculer la recette ...


Essai de comprendre ce que j'ai ecris stp ...

x ne correspond pas au prix mais au nombre de fois ou tu exerces une reduction de 50 centimes sur le prix de la place. Pour 8 euros, x=0, on a donc une recette de 4000 euros.

Ainsi quand je dis que 5 et 6 sont solutions du probleme ca veut dire que les prix de la place qui sont solutions sont : 8-5*0.5=5.5euros et 8-6*0.5=5 euros


Posted by: dolmen

Pour scélérat : Le truc scélérat, c'est que le directeur baisse à chaque fois de 0.5 euros, c'est pour cela qu'il ne peux y avoir que des "virgules 5" comme 5.5 ou 6.5 ou encore, il peut y avoir des nombres entiers (5 ou 6) , mais c'est tout !
En tout cas, merci de m'avoir montrer tes calculs, ça va bien m'aider !

Pour Patastroch : Merci pour ta réponse , désolé, j'avais mal compris ce que tu voulais dire comme solution du problème










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