Dimension d'un sous-espace vectoriel

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Posted by: aston

Bonjour, voici la question demandée:

Dans l'espace vectoriel réel des fonctions de \mathbb{R}^+_{0} vers \mathbb{R}, quelle est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les cinq fonctions appliquant \textit{x} sur respectivement
ln (x), ln (2 x^2), ln (3 x^3), ln (4 x^4), ln (5x^5) ?
Justifier la réponse.

Je dirais que la dimension du sous-espace est 2 puisque ces 5 fonctions sont dans le plan.

Mais comment être beaucoup plus précis ? Je n'arrive pas à trouver d'éléments théorique sur les sous-espaces vectoriels qui puissent m'aider à justifier ma réponese (si elle est correcte).

Merci.


Posted by: nuage

Salut,
je dirais aussi 2, mais parce que les combinaisons linéaires de ces 5 fonctions sont des combinaisons linéaires de x\rightarrow 1 et de x\rightarrow \ln x.
Et que la fonction ln n'est pas constante sur \mathbb{R}^{*+}.
Par exemple \ln(2\, x^2)=\ln2 +2 \ln x


Posted by: B_J

salut;
4$\ln (kx^k)=\ln(k)+k\ln(x)=\ln(k)\times 1+k\times \ln(x),4$k=2,\cdots ,5


Posted by: aston

Citation:
Posté par nuage
Salut,
je dirais aussi 2, mais parce que les combinaisons linéaires de ces 5 fonctions sont des combinaisons linéaires de x\rightarrow 1 et de x\rightarrow \ln x.
Et que la fonction ln n'est pas constante sur \mathbb{R}^{*+}.
Par exemple \ln(2\, x^2)=\ln2 +2 \ln x


Ok je vois pour les combinaisons linéaire. Cependant peux-tu expliquer ce qu'est une fonction constante (non constante) et en quoi ça joue dans la justification ?

merci :)


Posted by: nuage

Une fonction constante associe à chaque valeur de la variable la même valeur.
x\rightarrow 1 \text{ ou } x\rightarrow \ln 2 sont des fonctions constantes.

La fonction ln n'est pas constante (\ln 2\neq \ln 3) par exemple.
Les combinaisons linéaires de fonctions constantes sont constantes, donc ln n'est pas une telle combinaison.
Ce qui assure l'indépendance linéaire de x\rightarrow 1 et de x\rightarrow \ln x dans l'espace vectoriel considéré.

La dimension du sev est donc bien égale à 2. Car il est engendré par une famille libre à 2 éléments.










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