dimension d'un anneau noethérien

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Posted by: leon1789

Bonjour

Je rappelle la définition de la dimension de Krull d'un anneau commutatif :
c'est la longueur maximale des chaines strictement croissantes formées d'idéaux premiers de l'anneau.

Connaissez-vous un résultat de ce genre ? Avez-vous une référence ?
Citation:
Soit x un élément d'un anneau A noethérien. On note
-- d la dimension de l'anneau quotient A/xA (où x est nul) ;
-- e la dimension de l'anneau localisé x^{-N}.A (où x est inversible) ;
-- k un entier valant 1 si d=e, ou bien 0 sinon.

Alors la dimension de A est égale à max(d,e) ou max(d,e)+k.


Merci d'avance


Posted by: abcd22

Bonsoir,
Je ne connais pas ce résultat, par contre pour le montrer je pense que j'essaierais d'utiliser le théorème de l'idéal principal : si x est un élément d'un anneau noethérien A et P est un idéal minimal parmi les idéaux premiers contenant x, alors codim P <= 1.

Une partie du résultat est évidente : c'est \max(d,e) \leq \dim\,A, puisque les idéaux premiers d'un quotient ou d'un localisé de A sont en bijection avec des sous-ensembles des idéaux premiers de A.
Il faut donc montrer que :
- si d = e, \dim\,A \leq \max(d,e) + 1
- sinon, \dim\,A \leq \max(d,e).
Il s'agit de majorer la longueur d'une suite strictement croissante d'idéaux premiers de A P_0 \subset P_1 ... \subset P_n en fonction de d et e.
Si x \in P_0 on a une suite strictement croissante d'idéaux premiers de A/xA donc n <= d;
Si x \not\in P_n on a n <= e;
Il reste le cas x \not\in P_0,\ x \in P_n, ça doit être là qu'il faut distinguer les cas, mais je n'ai pas cherché.


Posted by: abcd22

Hum en fait le théorème que j'ai cité donne tout de suite n \leq d +1 dans le dernier cas et on en déduit immédiatment le résultat dans le cas d = e.


Posted by: leon1789

Citation:
Posté par abcd22
Une partie du résultat est évidente : c'est \max(d,e) \leq \dim\,A,

Oui, pas de problème pour ça

Citation:
Posté par abcd22
Il faut donc montrer que :
- si d = e, \dim\,A \leq \max(d,e) + 1
- sinon, \dim\,A \leq \max(d,e).
Il s'agit de majorer la longueur d'une suite strictement croissante d'idéaux premiers de A P_0 \subset P_1 ... \subset P_n en fonction de d et e.
Si x \in P_0 on a une suite strictement croissante d'idéaux premiers de A/xA donc n <= d;

Dans ce cas, \dim\,A = d = \max(d,e), ok

Citation:
Posté par abcd22
Si x \not\in P_n on a n <= e;

Dans ce cas, \dim\,A = e = \max(d,e), ok

Citation:
Posté par abcd22
Il reste le cas x \not\in P_0,\ x \in P_n, ça doit être là qu'il faut distinguer les cas, mais je n'ai pas cherché.

Citation:
Posté par abcd22
si x est un élément d'un anneau noethérien A et P est un idéal minimal parmi les idéaux premiers contenant x, alors codim P <= 1.

Citation:
Posté par abcd22
Hum en fait le théorème que j'ai cité donne tout de suite n \leq d +1 dans le dernier cas et on en déduit immédiatement le résultat dans le cas d = e.

ha oui effectivement ! Dans ce cas, \dim\,A \leq d + 1 = \max(d,e) + 1, ok

EDIT : heu, il faut que l'idéal P de codim P <= 1 contenant x soit de dimension >= n-1 pour conclure, non ?


Il reste à démontrer que \dim\,A = \max(d,e) lorsque x \not\in P_0,\ x \in P_n avec d et e différents.


Posted by: abcd22

Citation:
Posté par leon1789
ha oui effectivement ! Dans ce cas, \dim\,A \leq d + 1 = \max(d,e) + 1, ok

EDIT : heu, il faut que l'idéal P de codim P <= 1 contenant x soit de dimension >= n-1 pour conclure, non ?

Rq : ce que j'ai appelé codimension c'est la hauteur.
On prend n = dim A (on peut supposer les dimensions finies si je ne me trompe pas), soit i le plus petit indice tel que x \in P_i, alors n - i \leq d car P_i \subset P_{i+1} ... P_n est une suite strictement croissante d'idéaux premiers de A/xA, et en fait ce que je voulais dire c'est que P_i était minimal parmi les idéaux premiers contenant x (donc i <= 1 avec le théorème...) car sinon on pourrait ajouter un idéal de plus dans la suite d'idéaux de A alors qu'on a supposé que la longueur était maximale, mais ce n'est pas si évident car si P_i n'est pas minimal je peux trouver un idéal premier P de A tel que x \in P \subset P_i, mais ce n'est pas sur qu'on aie P_{i-1} \subset P_i...


Posted by: leon1789

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