Dimension de matrices

[entropik]

Bonjour,
Il y a quelque chose qui me perturbe à propos des dimensions des matrices: dans mon syllabus de théorie, il est écrit que "dans le cas d'une matrice carrée, le nombre commun des lignes et des colonnes s'appelle la dimension de la matrice". Ensuite au début du cours d'exercices, on a vu les matrices identité: et et on nous a dit que les indices indiquaient la dimension. Ainsi la dimension d'une matrice de m lignes et de n colonnes est égale au produit de m et n sauf quand m=n. Jusque là tout va bien. C'est au chapitre sur les espaces vectoriels que ça coince. On a appris que l'ensemble des matrices m x n dont les termes sont des complexes est noté . C'est lors de l'exercice suivant que je n'ai plus compris: dans l'espace vectoriel il fallait dire si les matrices suivantes étaient linéairement indépendantes et si elles formaient une base. Il y avait 3 sous-exercices: les 2 premiers avec 3 matrices et le dernier avec 4. Or a également appris que pour former une base, le nombre de vecteurs devait être égal à la dimension. Et ici, étrangement, la dimension de l'espace était 4 et pas 2 comme annoncé dans le chapitre précédent. Donc les 4 matrices (dont on avait vérifé l'indépendance) formaient une base.
Ainsi pour concilier tout que j'ai appris je devrais dire que la dimension d'une matrice 4x4 est bien 4 mais la dimension de l'ensemble des matrices 4x4 dont les termes sont des complexes est 16. Cela ne me semble pas très logique alors merci d'avance pour vos éclaircissements.

[entropik]

L'ensemble des matrices à m lignes et n colonnes forme un espace vectoriel de dimension m*n pour tout (m,n).

Est-ce que "pour tout (m,n)" signifie bien pour toutes les valeurs qu'on peut donner à m et à n? Donc quand on parle d'ensemble de matrices, la dimension est m*n que m soit égal à n ou non.
Donc si j'ai bien compris, on ne calcule pas la dimension de la même façon si on parle d'un ensemble ou d'une matrice seule. Ainsi la dimension de la matrice-ligne est égale à la dimension de la matrice-colonne est aussi égale à la dimension de la matrice carrée . Mais

De plus une matrice à m lignes et n colonnes représente une application linéaire d'un Ev de dimension m dans un Ev de dimension n.

Je ne comprend pas ceci mais c'est sûrement dû au fait que je n'ai pas vu le chapitre sur les Applications linéaires et application d'une matrice à un vecteur.

Merci pour cette réponse, je pense avoir compris maintenant.

[fahr451]

bonsoir

on ne devrait pas parler de dimension pour une matrice mais de taille ou de format si l'on parle du nbre de lignes et de colonne

ex matrice de taille 2,3 = deux lignes et trois colonnes
matrice carrée de taille 3 = 3 lignes 3 colonnes

le mot dimension est réservée aux espaces vectoriels , une matrice n'est pas un espace vectoriel

l'ensemble des matrices de taille n,p est un K ev de dimension np

plus tard tu verras qu'une matrice de taille n,p représente une application linéaire f , application de E dans f où E est un k ev de dimension p et F de dimension n des bases ayant été choisies.

[Nil]

j'ai aussi l'impression qu'il a pu être confondu, pour ce qui est de l'ensemble des matrices carrées d'ordre n, (c'est à dire des matrices n lignes n colonnes), l'ordre des matrices carrées et la dimension de l'espace vectoriel que constitue cet ensemble, qui est bien n².

une bonne manière de se rendre compte "intuitivement" de la dimension d'un espace de matrices,

est de comprendre que pour déterminer une matrice de manière unique, il est nécessaire et suffisant de déterminer chacun de ses coefficients, donc au total un nombre n*m de scalaire. (où n et m désignent les nombres de colonnes et de lignes.)

:happy2: