Dimension finie (algèbre linéaire)

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: nico2b

Je n'arrive pas à me lancer dans cette question :

On suppose que la suite d'applications 0 \rightarrow U \stackrel{\alpha}{\rightarrow} V \stackrel{\beta}{\rightarrow}W \rightarrow 0
est exacte à chaque cran.
Montrer que dim_K V est finie si et seulement si dim_K U et dim_K W sont finies.

Quelqu'un pourrait m'éclaircir sur la notion de "dimension finie" car elle reste assez flou pour moi...


Posted by: abcd22

Bonsoir,
Si on parle de dimension sur K je suppose que U, V et W sont des K-espaces vectoriels, tu n´as pas vu la notion de dimension d´un espace vectoriel ? dimension finie ça veut dire que l´espace est engendré par un nombre fini de vecteurs, tu as dû voir des propriétés des espaces de dimension finie si tu dois répondre à cette question, non ?
Pour dim V finie implique dim U et dim W finies : comme la suite est exacte, \alpha est injective donc U est isomorphe à un ss-espace vectoriel de V, et \beta est surjective de V de dimension finie dans W...
Pour la réciproque c´est plus compliqué : il faut partir de bases de U et de W, envoyer la base de U dans V par \alpha, choisir des antécédents des éléments de la base de W par \beta (qui est surjective), et montrer qu´on obtient une famille génératrice de V.


Posted by: jose_latino

Si tu admets la propriété: pour T:X\to Y application K-linéaire, \dim(X)=\dim(No(T))+\dim(Im(T)) (valable pour dimensions quelconques)
Mais si tu n'admets pas cette propriété pour dimensions arbitraires, tu peux démontrer la propriété suivante:
\dim(X) est finie si et seulement si \dim(No(T)) et \dim(Im(T)) sont finies.


Posted by: nico2b

Avant tout merci...
J'ai bien vu la notion de dimension d'un espace vectoriel mais j'avais du mal à la cerner clairement
Avec vos explicatioins je comprend maintenant mieu la notion

La suite de la question dit ceci :


Sous les mêmes hypothèses que ci dessus, montrer que si dim V est finie alors dim V = dim U + dim W


Posted by: abcd22

En fait c´est le théorème du rang, qu´on peut aussi utiliser (mais en l´admettant dans le cas de la dimension infinie) pour la première question au lieu de prendre des bases comme j´ai dit...
Si tu n´as pas vu le théorème du rang, dans mon post précédent j´ai construit une famille de dim U + dim W vecteurs de V génératrice de W, il reste à montrer qu´elle est libre en prenant une combinaison linéaire nulle et en montrant que les coefficients sont nuls (on applique bêta...).


Posted by: nico2b

Ok merci pour le tuyaux










-