Dimension d'un espace Vectoriel

[Joker62]

Bonsoir à tous :)
J'ai passé un oral dernièrement et mon prof a fait une remarque qui m'a un peu déstabilisé et il me semble que c'est faux : il me semble même que j'ai trouvé un contre exemple...

Bon voyons ça.

J'ai en fait E un k-espace vectoriel de dimension finie n et un endomorphisme u.
On sait qu'on peut munir (E,u) d'une structure de k[X]-module
On suppose en plus que ;)(u), le polynôme minimal de u est irréductible.

On peut alors munir (E,u) d'une structure de k[X] / (;)(u)) - module. (Théorie des modules classique)

Mais comme ;)(u) est irréductible, le quotient que l'on considère est un corps que l'on peut noté L. Donc E est un L-espace vectoriel.

Maintenant, mon prof m'a affirmé que E était de dimension 1 en tant que L-espace vectoriel. Et c'est cette partie qui m'a troublé.
Je pense absolument que c'est faux. (J'espère :D)

Donc en contre-exemple qui m'a trottiné dans l'esprit toute la nuit :

Je prend E = R^4 qui est donc un R-espace vectoriel de dimension 4
Je prend u, l'endomorphisme représenté par la matrice composée de deux blocs de la forme
(0;1)
(-1;0)
avec des 0 ailleurs.

Le polynôme minimal de u, est X^2 + 1 qui est donc irréductible sur R

On peut alors munir E d'une structure de R[X]/ (X^2 +1) - espace vectoriel

Mais on sait aussi que R[X]/(X^2+1) ~ C
Donc E est un C-espace vectoriel.
Mais la dimension de E sur C vaut 2 parce que R^4 ~ C^2

Pour moi, tout semble naturel.
J'espère ne pas me tromper.

Merci de m'avoir lu et d'éclairer ma lanterne.
Bizouuuu

[alavacommejetepousse]

bonsoir
ne serait ce pas plutôt de dim d avec d= deg(poly minimal)?

[bqdr]

bonsoir,

j'ai besoin d 'aide pour savoir comment placer 6 tetraedre dans un parallélépipede si vous avez des animations ou des photos indiquer moi le lien merci d'avance

badr

[Joker62]

C'est la réponse que j'avais donné en première instance à mon prof parce que k[x]/(;)(u)) est finalement de dimension deg(;)(u)) sur k mais selon lui cette dimension (ie deg(;)(u))) est celle de E en tant que k-espace vectoriel.

Ce qui n'est pas...

[Doraki]

Je suis d'accord avec toi..

Si a = d°(;)(u)), alors a est aussi la dimension de L comme K-ev.
Et si b est la dimension de E comme L-ev, la dimension de E comme K-ev est alors a*b.

E est un L-ev de dimension 1 si et seulement si le polynôme minimal de u est son polynôme caractéristique

[Joker62]

Ah !
Bé ça me rassure que j'ai déjà deux avis qui différent du sien lol !
Je me rappelais plus trop qu'il y avait un rapport entre les dimensions de E sur L ou K et le degrès de l'extension de L sur K

Bon et bien j'vais aller lui en toucher deux mots. Surtout qu'il m'a vraiment fait bloqué et qu'après ça j'étais un peu sur le cul :D

Merci à vous ;)