Dimension d'un espace Vectoriel
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
-
Joker62
- Membre Transcendant
- Messages: 5028
- Enregistré le: 24 Déc 2006, 20:29
-
par Joker62 » 29 Oct 2009, 17:35
Bonsoir à tous :)
J'ai passé un oral dernièrement et mon prof a fait une remarque qui m'a un peu déstabilisé et il me semble que c'est faux : il me semble même que j'ai trouvé un contre exemple...
Bon voyons ça.
J'ai en fait E un k-espace vectoriel de dimension finie n et un endomorphisme u.
On sait qu'on peut munir (E,u) d'une structure de k[X]-module
On suppose en plus que ;)(u), le polynôme minimal de u est irréductible.
On peut alors munir (E,u) d'une structure de k[X] / (;)(u)) - module. (Théorie des modules classique)
Mais comme ;)(u) est irréductible, le quotient que l'on considère est un corps que l'on peut noté L. Donc E est un L-espace vectoriel.
Maintenant, mon prof m'a affirmé que E était de dimension 1 en tant que L-espace vectoriel. Et c'est cette partie qui m'a troublé.
Je pense absolument que c'est faux. (J'espère :D)
Donc en contre-exemple qui m'a trottiné dans l'esprit toute la nuit :
Je prend E = R^4 qui est donc un R-espace vectoriel de dimension 4
Je prend u, l'endomorphisme représenté par la matrice composée de deux blocs de la forme
(0;1)
(-1;0)
avec des 0 ailleurs.
Le polynôme minimal de u, est X^2 + 1 qui est donc irréductible sur R
On peut alors munir E d'une structure de R[X]/ (X^2 +1) - espace vectoriel
Mais on sait aussi que R[X]/(X^2+1) ~ C
Donc E est un C-espace vectoriel.
Mais la dimension de E sur C vaut 2 parce que R^4 ~ C^2
Pour moi, tout semble naturel.
J'espère ne pas me tromper.
Merci de m'avoir lu et d'éclairer ma lanterne.
Bizouuuu
par alavacommejetepousse » 29 Oct 2009, 18:07
bonsoir
ne serait ce pas plutôt de dim d avec d= deg(poly minimal)?
-
bqdr
- Messages: 1
- Enregistré le: 29 Oct 2009, 18:05
-
par bqdr » 29 Oct 2009, 18:10
bonsoir,
j'ai besoin d 'aide pour savoir comment placer 6 tetraedre dans un parallélépipede si vous avez des animations ou des photos indiquer moi le lien merci d'avance
badr
-
Joker62
- Membre Transcendant
- Messages: 5028
- Enregistré le: 24 Déc 2006, 20:29
-
par Joker62 » 29 Oct 2009, 18:11
C'est la réponse que j'avais donné en première instance à mon prof parce que k[x]/(;)(u)) est finalement de dimension deg(;)(u)) sur k mais selon lui cette dimension (ie deg(;)(u))) est celle de E en tant que k-espace vectoriel.
Ce qui n'est pas...
-
Doraki
- Habitué(e)
- Messages: 5021
- Enregistré le: 20 Aoû 2008, 12:07
-
par Doraki » 29 Oct 2009, 18:39
Je suis d'accord avec toi..
Si a = d°(;)(u)), alors a est aussi la dimension de L comme K-ev.
Et si b est la dimension de E comme L-ev, la dimension de E comme K-ev est alors a*b.
E est un L-ev de dimension 1 si et seulement si le polynôme minimal de u est son polynôme caractéristique
-
Joker62
- Membre Transcendant
- Messages: 5028
- Enregistré le: 24 Déc 2006, 20:29
-
par Joker62 » 29 Oct 2009, 19:40
Ah !
Bé ça me rassure que j'ai déjà deux avis qui différent du sien lol !
Je me rappelais plus trop qu'il y avait un rapport entre les dimensions de E sur L ou K et le degrès de l'extension de L sur K
Bon et bien j'vais aller lui en toucher deux mots. Surtout qu'il m'a vraiment fait bloqué et qu'après ça j'étais un peu sur le cul :D
Merci à vous ;)
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 24 invités