Differentiabilité !

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Posted by: barbu23

Bonjour :
Je voudrai que vous m'expliquiez pourquoi la fonction suivante est differentiable sur $\ [0,1] $ :
$\ \varphi \hspace{10cm} : \hspace{10cm} [0,1] \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} \Omega \subset F $
$\ \hspace{45cm} t \hspace{25cm} \longrightarrow x + t.(y-x) $
avec : $\ F $ un espace vectoriel de dimension finie sur $ \mathbb{R} $.
Merci infiniment !!


Posted by: BQss

Salut, tout simplement car tu vois(c'est une raison suffisante) que avec x et y des vecteurs constants de F,
on a les dérivées partielles qui existent et sont continues(c'est lineaire).

On peut meme juste remarquer que c'est lineaire avec l'espace d'arrivée de dimension finie, de differentielle, (y-x)=constante...


Posted by: Joker62

Moi j'étais parti comme ça :

Phi clairement différentiable sur ]0;1[ car dérivable sur ]0;1[
Donc la différentielle est :

http://www.maths-forum.com/images/l...e39f64c23cd.gif

Et donc il nous reste à vérifier en 0 et en 1 en ayant également le candidat.


Posted by: BQss

Salut Joker,
euh, y-x a la dimension de F, pour qu'on puisse parler de derivabilité il faudrait que F soit de dimension 1.
F est juste de dimension fini sur R mais pas forcement de dimension 1...

La differentielle est alors une matrice colonne de n lignes.


Posted by: Joker62

Hummmm :^)
On m'a appris que si f : I C R -> (E, ||.||) définie sur un ouvert I de R

Alors
1) f dérivable en t0 <=> f différentiable en t0
Et dans ce cas d(to)f = I -> E, h -> h.f'(t0)

J'ai pas compris pourquoi ça marcherait pas dans ce cas, enfin, l'histoire de dimension surtout.


Posted by: BQss

Par exemple si x=(1,2)^t et y=(3,4)^t

phi(t)=(1+t(3-1),2+t(4-2))=(1+2t,2+2t)


Posted by: BQss

Citation:
Posté par Joker62
Hummmm :^)
On m'a appris que si f : I C R -> (E, ||.||) définie sur un ouvert I de R

Alors
1) f dérivable en t0 <=> f différentiable en t0
Et dans ce cas d(to)f = I -> E, h -> h.f'(t0)

J'ai pas compris pourquoi ça marcherait pas dans ce cas, enfin, l'histoire de dimension surtout.



euh oui tu as raison, j'ai regardé le cours que j'ai de licence et effectivemment, il n'y a pas de raison de ne pas pouvoir faire tendre h vers 0 dans phit(t+h)-phi(t)/h, le probleme vient juste quand l'espace de depart n'est pas de dimension 1, ou on ne peut plus diviser par un vecteur.


Posted by: barbu23

Salut "BQss" :
Moi, j'ai pensé à un autre argument, on peut écrire $\ \varphi $ de la manière suivante :
$\ \varphi \hspace{10cm} : \hspace{10cm} [0,1] \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm} F $
$\ \hspace{10cm} t \hspace{10cm} \longrightarrow \varphi (t) = (\varphi_{1} (t) , ... , \varphi_{n} (t) ) = (x_{1} + t .(y_{1} - x_{1}), ... , x_{n} + t .(y_{n} - x_{n}) ) $
Puisque : $\ \forall i = 1,..,n $ : $\ \varphi_{i} $ est differentiable sur $\ [0,1] $, alors :$\ \varphi $ est differentiable sur $\ [0,1] $.
Voilà, donc une raison pour laquelle $\ \varphi $ est differentiable. Et puisque je ne maitrise pas bien mon cours pour l'instant !! j'aimerai m'arreter sur les differents étapes que tu as employé pour montrer la differentiabilité de $\ \varphi $.
En fait, si je comprends bien, tu as appliqué le corollaire qui dit qu'une application linéaire et continue est necessairement differentiable !! mais dans notre cas ici $\ \varphi $ n'est pas linéaire !!
Une seconde chose : Est ce que si les derivées partielles existent et sont continues alors l'application est differentiable !! ( c'est dans le cours ça ? quelle honte !! )
Ensuite, tu dis que c'est linéaire, ça veut dire que si les derivées partielles existent et sont lineaires alors, elles sont continues c'est ça ?
Merci d'avance de votre aide !!


Posted by: Joker62

Vui mais ça règle pas le problème pour autant, il resterait à considérer la différentielle dans un voisinage de 0 et de 1 ce qui est plus long que la méthode des dérivées partielles continues.
En même temps y'a qu'une dérivée partielle :D
Donc ouai on opte pour la condition suffisante de différentiabilité ;)


Posted by: BQss

Citation:
Posté par Joker62
En même temps y'a qu'une dérivée partielle :D


Ah non il y a n dérivées partielles :), ce qui n'empeche que c'est bien dérivable ...

C'est phi(t+h)-phi(t) avec h un réel mais (phi(t+h)-phi(t)) est de dimension n, la dimension de F...
la dérivée est une matrice colonne:(phi_1'(t),...,phi_n'(t))^t


Posted by: BQss

Citation:
Posté par barbu23
Salut "BQss" :
Moi, j'ai pensé à un autre argument, on peut écrire $\ \varphi $ de la manière suivante :

En fait, si je comprends bien, tu as appliqué le corollaire qui dit qu'une application linéaire et continue est necessairement differentiable !! mais dans notre cas ici $\ \varphi $ n'est pas linéaire !!


Non mais c'est la somme d'une fonction lineaire differentiable et d'une fonction constante differentiable. C'est affine si tu veux.


Posted by: Joker62

Quand on est en dimension finie, linéaire c'est équivalent à continue ( ça se voit en topo )

Pour ce qui est de la condition suffisante de la différentiabilité, oui, en effet elle est dans le cours, et il suffit que les dérivées partielles existent et sont continues, la preuve est longue, mais jolie et facile à mettre en place.

Faut aussi rappeler qu'on parle de dérivées partielles seulement dans R^n, parce que les dérivées partielles, sont juste les dérivées suivant les vecteurs de bases.


Posted by: barbu23

Et pourquoi on ecrit "linéaire + continue $\ \Longrightarrow $ differentaible" ..? on aurrait ecrit tout simplement " lineaire $\ \Longrightarrow $ differentaible " .. !!
Ou bien, Il disent ça dans le cours parceque l'espace vectoriel est consideré de dimension quelconque !! c'est à cause de ça "Joker" ?
Merci d'avance !!


Posted by: barbu23

Une autre petite question !
Est ce que les derivées partielles sont toujours lineaires !! ou bien il y'a des cas ou celà n'est pas realisé !!
Merci d'avance !!


Posted by: Joker62

C'est surtout parce qu'on est en dimension finie !
Sur l'espace vectorielle des fonctions continue, linéaire n'est pas équivalent à continue.

Pour la question des dérivées partielles toujours linéaires, évidemment que non

Et puis, c'est pas linéaire + continue => différentiabilité

C'est Existence et continuïté des fonctions dérivée partielle => différentiabilité


Posted by: barbu23

Citation:
Posté par Joker62



Faut aussi rappeler qu'on parle de dérivées partielles seulement dans R^n, parce que les dérivées partielles, sont juste les dérivées suivant les vecteurs de bases.

Les derivées partielles sont les derivées directionnelles suivant la base de l'espace vectoriel dans lequel on se situe !!


Posted by: BQss

Citation:
Posté par barbu23
Une autre petite question !
Est ce que les derivées partielles sont toujours lineaires !! ou bien il y'a des cas ou celà n'est pas realisé !!
Merci d'avance !!


Quand elles existent, à t fixé oui elles sont lineaires, forcement, tout comme la ou la differentielle existe, a t fixé c'est une application lineaire. Maintenant l'application qui a t associe df(t), la differentielle, n'a aucune raison d'etre lineaire sauf quand elle "derive" d'une forme quadratique.
La differentielle de <Ax|x> par exemple est 2Ax.


Posted by: barbu23

Citation:
Posté par BQss
on a les dérivées partielles qui existent et sont continues(c'est lineaire).

...

Cette phrase, j'ai pas encore bien compris !!
Les dérivées partielles existent et sont linéaires donc continues puisque l'espace vectoriel est de dimension fini !! Mais pourquoi, les derivées partielles ici sont lineaires ? ( $\ \varphi $ est une application d'une seules variable, et la derivée par rapport à $\ t $ est constante donc pas lineaire .
Je crois que j'ai appris la moitié du cours avec ce que vous m'avez expliqué !! Encore une fois je vous remercie infiniment !!


Posted by: BQss

Les dérivées partielles ne sont pas lineaires elles sont constantes ici. Ce qui est lineaire c'est la fonction qui a dh associe df(t).dh avec t fixé ici. Mais c'est le cas pour toute differentielle a t fixé, vu qu'a t fixé tu te retrouves avec un df(t) constant... Et on peut dire exactement la meme chose pour les dérivées partielles phi'1, phi'2 etc( qui comem Joker l'a suggéré cohincident avec les dérivées des fonctions coordonnées)...

Je te laisse j'ai un cours! Joker sera la j'espere.


Posted by: barbu23

Oui, je comprends ce que tu dis :
$\ Df \hspace{10cm} : \hspace{10cm} \mathbb{R} \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} \mathcal{L}_{c}(\mathbb{R} ,F) $
$\ \hspace{49cm} t \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} Df(t) = L_{t} \hspace{10cm} : \hspace{10cm} \mathbb{R} \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} F $
$\ \hspace{210cm} h \hspace{10cm} \longrightarrow Df(t)(h) = L_{t}(h) $
Mais je vois pas le rapport avec les derivées partielles !!


Posted by: Joker62

Alors soit f de R^n dans (E,||.||)
dont les dérivées partielles existent et sont continues
Alors f différentiable et on a :

http://www.maths-forum.com/images/l...659a76ba2a3.gif

Donc la différentielle, s'exprime à l'aide des dérivées partielles.
Edit : c'est pas daf mais df tout simplement !
J'ai pas envie de retaper toute la formule :D


Posted by: barbu23

Bonjour :
Théorème :
Soit $\ E $ et $\ F $ deux espaces vectoriels normés et $\ \Omega $ un ouvert de $\ E $.
Soit $\ f \hspace{10cm} : \hspace{10cm} \Omega \subset \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} F $.
On suppose que $\ f $ admet une differentielle d'ordre $\ 2 $ au point $\ a \in \Omega $.
Alors :
$\ \frac{1}{(||u||+||v||)^{2}}.(f(a+u+v)-f(a+u)-f(a+v)+f(a)-D^{2}f(a)(u,v)) $ tend ves $\ 0 $ quant $\ ||u|| \longrightarrow 0 $ et $\ ||v|| \longrightarrow 0 $.
En particulier: $\ D{2}f(a) $ est bilineaire symetrique.
i.e : $\ \forall u,v \in E $ : $\ D^{2}f(a)(u,v) = D^{2}f(a)(v,u) $
Preuve :
$\ D^{2}f(a) $ existe $\ \Longleftrightarrow \hspace{10cm} \forall \epsilon &gt; 0 \hspace{10cm} \exists B(0,r) \hspace{10cm} \forall x \in B(0,r) $ :
$\ || Df(a+x) - Df(a) - D^{2}f(a)(x) || \leq \epsilon .||x|| $
Soient $\ u , v \in E $ tels que : : $\ ||u|| \leq \frac{r}{2} $ et $\ ||v|| \leq \frac{r}{2} $
$\ \Longrightarrow \hspace{10cm} ||u+v|| \leq ||u|| + ||v|| = \frac{r}{2} + \frac{r}{2} = r $
$\ \Longrightarrow \hspace{10cm} || f(a+u+v)-f(a+u)-f(a+v)+f(a)-D^{2}f(a)(u,v) || \leq \epsilon .(||u||+||v||) $
Posons : $\ g_{v}(u) = f(a+u+v)-f(a+u)-f(a+v)+f(a)-D^{2}f(a)(u,v) $
$\ v $ est un paramètre.
Comme $\ D^{2}f(a) $ existe alors $\ D^{2}f(a+x) $ existe pour $\ x $ assez petit.
D'où : $\ g_{v} $ est differentiable sur un voisinage de $\ B(0,r') $
$\ \Longrightarrow $
$\ Dg_{v}(u) = Df(a+u+v) - Df(a+u) - D^{2}f(a)(v) $
la suite je vais pas l'écrire parcequ'elle est un peu longue .. mais c'est surtout cette partie qui m'inteesse .. !
Alors, mes questions sont :
$\ 1) $ Pourquoi $\ Df(a+x) $ existe pour $\ x $ assez petit.
$\ 2) $ Pourquoi $\ g_{v} $ est differentiable sur un voisinage de $\ B(0,r') $.
$\ 3) $ Comment on a calculé : $\ Dg_{v} $ ?
Merci infiniment de votre aide !!


Posted by: tize

Bonjour,
1) Df(a+x) existe pour x assez petit car f est deux fois différentiable, en effet dire que f est deux fois différentiable en a implique l'existence de D^2f_a bilinéaire telle que :
||Df_{a+u}(v)-Df_a(v)-D^2f_a(u,v)||_F\leq ||u||_E||v||_E\epsilon(u) mais pour que cette définition ait un sens il faut que Df_{a+u}(v) existe pour a+u dans un voisinage de a puisque u\to 0.
En fait même si ça n'est pas dit explicitement l'existence de D^2f en un point a sous entend que f est différentiable au voisinage de a

2) g_{v}(u) = f(a+u+v)-f(a+u)-f(a+v)+f(a)-D^{2}f(a)(u,v)
g_v est donc une somme d'applications différentiables, de constante (f(a)) et d'une application linéaire en u: D^{2}f(a)(u,v); g_v est donc différentiable.

3) Calculer Dg_v(u) est assez simple il suffit de différentier h\to f(a+u+v+h), h\to f(a+u+h), -f(a+v)+f(a) est une constante par rapport à u et est donc de différentielle nulle, u\to D^{2}f(a)(u,v) est linéaire en uelle est donc différentiable de différentielle elle même.


Posted by: barbu23

Salut "tize" :
Je ne comprends bien ce que tu ecris en $\ 1) $ : ( Voiçi comment je vois les choses moi .. Donc, si j'ai des erreurs, n'hesite pas de me les mentionner )
Alors :
$\ f $ admet une differentielle d'ordre $\ 2 $ au point $\ a $ ... signifie que $\ f $ est differentiable au point $\ a $ donc il existe une application linéaire $\ Df(a) = L_{a} $ tel que :
$\ f(x)-f(a) - Df(a)(x-a) = o(||x-a||) $
D'où l'existence de la derivée première s'il est derivable sur tout $\ \Omega $ :
$\ Df \hspace{10cm} : \hspace{10cm} \Omega \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} \mathcal{L}_{c}(E,F)} $
$\ a \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} Df(a) \hspace{10cm} : \hspace{10cm} E \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} F $
$\ \hspace{10cm} h \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} Df(a)(h) $.
$\ Df $ est de nouveau differentiable au point $\ a $ ,alors $\ D(Df)(a) $ existe et est notée $\ D^{2}f(a) $ c'est à dire il existe une application lineaire $\ L'_{a} = D(Df)(a) $ tel que : $\ Df(y)-Df(a) - D(Df)(a)(y-a) = o(||y-a||) $
Alors est ce que ce que j'ai ecrit est correct, et comment à partir de ce que j'ai ecrit arriver à l 'expression que tu as ecrit en $\ 1) $.
Merci beaucoup "tize" !!


Posted by: tize

On a la même chose mais attention quand tu écris :
Df(y)-Df(a) - D(Df)(a)(y-a) = o(||y-a||) =||y-a||\epsilon(y-a)
à gauche tu as une application linéaire et à droite un nombre positif !!!
Pour y remédier et faire en sorte que la formule soit vrai on applique l'application linéaire de gauche à un vecteur et on ajoute une norme :
|| Df(y)(v)-Df(a)(v) - D(Df)(a)(y-a)(v)|| = ||v||.o(||y-a||) on a multiplié par ||v|| à droite par continuité des applications linéaires de gauche...
On a donc à peu de chose près la même chose et D^2f\in \mathcal{L} (E,\mathcal{L} (E,F)) \sim \mathcal{L}( E\times F)










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