Mathématiques - difféomorphisme

difféomorphisme
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Posted by: legeniedesalpages

Bonsoir,

je ne vois pas comment montrer que l'application $\phi$ de $\mathbb{R}_*^+\times]0,2\pi[$ sur $\mathbb{R}^2\setminus(\mathbb{R}^+\times \{0\})$ défini par $\phi(r,\theta)=(r\cos(\theta),r\sin(\theta))$ est un $C^1$ -difféomorphisme.

Merci pour vos indications.

Posted by: busard_des_roseaux

Bjr,

l'espace d'arrivée est simplement connexe.

L'application est bijective, elle s'inverse par les formules de changement de coordonnées polaires, cartésiennes:

$\begin{\array} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \tan(\theta)=\frac{y}{x}$

D'après la remarque du début, dans l'espace d'arrivée, simplement connexe,on a une détermination de l'argument $\theta$ . En effet, on a coupé
selon l'axe des réels positifs.

la détermination de l'argument est donnée par:

$\displaystyle \theta = \arctan(\frac{y}{x}) + \pi$

Il y a un peu de travail pour montrer que la détermination $\theta(x,y)$ est une fonction de classe $C^{1}$ au voisinage d'un point de l'axe y'oy privé de l'origine.

Cordialement,

Posted by: legeniedesalpages

Bonjour busard, ça veut dire quoi qu'un espace est simplement connexe?

Posted by: legeniedesalpages

ok, j'ai regardé sur wiki la définition d'ensembles simplement connexe.

Mais par exemple ici comment je peux déterminer les dérivées partielles?
Dans mon bouquin, le cours les définit que pour des fonctions à valeurs réelles ou complexes, et ici on est dans le cas où $\phi$ est à valeurs dans $\mathbb{R}^2$ .

Posted by: legeniedesalpages

je dérive chacune des composantes?

par exemple

$3$\frac{\partial \phi}{\partial r}(r_0,\theta_0) = [\frac{\partial \phi_1}{\partial r}(r_0,\theta_0),\frac{\partial \phi_2}{\partial r}(r_0,\theta_0)]= (cos \theta_0,\sin \theta_0)$ ,

et

$3$\frac{\partial \phi}{\partial \theta}(r_0,\theta_0) = [\frac{\partial \phi_1}{\partial \theta}(r_0,\theta_0),\frac{\partial \phi_2}{\partial \theta}(r_0,\theta_0)]= (-r_0\sin \theta_0, r_0 \cos \theta_0)$ .

c'est bien ça?

Posted by: legeniedesalpages

Et si j'ai bien compris pour dire que $\phi$ est continûment dérivable en tout point de $\mathbb{R}^+_*\times ]0,2\pi[$ (ouvert dans $\mathbb{R}^2$ ), il faut que je montre que
$\frac{\partial \phi}{\partial r}$ et $\frac{\partial \phi}{\partial \theta}$ existent et sont continues dans $\mathbb{R}^+_*\times ]0,2\pi[$

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par legeniedesalpages

Bonjour busard, ça veut dire quoi qu'un espace est simplement connexe?

Tout lacet est homotope (peut être déformé continuement) à un point.

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par legeniedesalpages

je dérive chacune des composantes?

par exemple

$3$\frac{\partial \phi}{\partial r}(r_0,\theta_0) = [\frac{\partial \phi_1}{\partial r}(r_0,\theta_0),\frac{\partial \phi_2}{\partial r}(r_0,\theta_0)]= (cos \theta_0,\sin \theta_0)$ ,

et

$3$\frac{\partial \phi}{\partial \theta}(r_0,\theta_0) = [\frac{\partial \phi_1}{\partial \theta}(r_0,\theta_0),\frac{\partial \phi_2}{\partial \theta}(r_0,\theta_0)]= (-r_0\sin \theta_0, r_0 \cos \theta_0)$ .

c'est bien ça?

vi.

pour $r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ , il n'y a aucun problème ,
cette fonction en dehors de l'origine est différentiable, on calcule
les coordonnées de l'application linéaire $dr$ , relativement à la base dx,dy et les coordonnées de $dr$ sont continues.

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par legeniedesalpages

Et si j'ai bien compris pour dire que $\phi$ est continûment dérivable en tout point de $\mathbb{R}^+_*\times ]0,2\pi[$ (ouvert dans $\mathbb{R}^2$ ), il faut que je montre que
$\frac{\partial \phi}{\partial r}$ et $\frac{\partial \phi}{\partial \theta}$ existent et sont continues dans $\mathbb{R}^+_*\times ]0,2\pi[$

vi. Pour $\phi$ , c'est facile.
Ensuite, il suffit de:

1) trouver l'application réciproque $\psi$ de $\phi$
2) vérifier par la calcul que $\psi$ est bien réciproque de $\phi$
3) avoir une expression analytique agréable de $\psi$
pour démontrer qu'elle aussi, est de classe $C^1$

La moitié du travail est fait:
r se calcule en fonction de $(x,y)$ et la formule donne une fonction de classe $C^1$ .
Quant à l'argument $\theta$ , il existe aussi une formule, avec arctangente, qui donne l'argument, fonction de (x,y) . On voit tout de suite que c'est $C^1$ . J'ai essayé de la retrouver, mais je ne l'ai pas pour l'instant.

Et comme l'espace d'arrivée, $\mathbb{R^2}$ privé de $\mathbb{R^+}$
est simplement connexe, une telle formule existe, parce qu'elle correspond à une détermination du log complexe.

cordialement,

Posted by: legeniedesalpages

Oki merci pour ces explications Busard,

je suis en train de relire le cours sur les dérivées de fonctions vectiorielles, dérivées partielles, et différentielle, parce que c'est vrai qu'en fait j'étais un peu en train de demander un cours dessus

Posted by: busard_des_roseaux

je relance le fil, pour les autres forumers:

l'ouvert $\mathbb{R^2} - \mathbb{R^+}$
est étoilé à partir du point A de coordonnées (-1,0).
donc simplement connexe.

Comment trouver une détermination analytique, ie, une formule donnant
l'argument $\theta$ en fonction de x et y,
pour inverser la fonction de GénieDesAlpages.

j'ai essayé deux choses pour trouver une expression de $\theta$ :
calculer
$\displaystyle \pi+ \int_{\Gamma} \, \frac{xdy -ydx}{x^2+y^2} $
sur un segment $\Gamma$ joignant A à M(u,v).
mais après de nombreux calculs, je trouve:
$\displaystyle \pi+\arctan(\frac{v}{u})$
qui n'est pas vraiment satisfaisant au point (u,v)=(1,1).

j'avais pensé aussi à calculer:
$\tan(\theta)=\frac{y}{x}=\frac{2t}{1-t^2}$
calculer t comme racine d'un trinome, mais quelle racine prendre ?
et ensuite:
$\cos(\theta)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
$\sin(\theta)=\frac{2t}{1+t^2}$

j'attend des suggestions.....

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par busard_des_roseaux

Comment trouver une détermination analytique, ie, une formule donnant
l'argument $\theta$ en fonction de x et y,
pour inverser la fonction de GénieDesAlpages.

tu as regardé ce qu'il proposait sur wiki: http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordo..._cart.C3.A9sien.

Je comprends pourquoi mon prof d'intégration nous l'as pas justifié, tu fais appel à un tas de notions et de résultats que je connais pas.

Posted by: Rain'

On nous l'avais donné la formule unique qui marchait tout le temps, je la retrouve et je vous la donne.

Posted by: Joker62

Hello ;)
J'ai pas tout suivi, mais bon, j'expose comment j'ai fait pour le faire lui :

Soit f : R² -> R²
(r,Teta) -> (r.Cos(theta), r.sin(theta))

f est C^oo sur R².

Le jacobien de f :

http://www.maths-forum.com/images/l...b0314e9dcbe.gif

Le jacobien de f s'annule sur {0}xR, donc on va réduire l'étude de f sur R*xR
Sur R*xR f est un donc un C^oo difféo-local

Maintetant, si on trouve un ensemble U C R*xR tel que la restriction de f à U soit injective, alors on aura que f est un C^oo difféomorphisme

soit r,r' != 0

http://www.maths-forum.com/images/l...f92f49f2e64.gif <=> http://www.maths-forum.com/images/l...0469acfc265.gif

On prend alors http://www.maths-forum.com/images/l...049c12dcf9b.gif

On calcul f(U) et on trouve le résultat demandé sans passé par je sais pas trop quoi :^)

Edit : ah j'ai compris ce que vous vouliez faire, vous vouliez expliciter sa réciproque pour pouvoir montrer qu'elle est C^1 et donc que c'est un difféo.
Ok je vois.

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par Joker62

On calcul f(U) et on trouve le résultat demandé sans passé par je sais pas trop quoi :^)

OK, d'accord, c'est plus simple.

Citation:

Posté par Joker62

Edit : ah j'ai compris ce que vous vouliez faire, vous vouliez expliciter sa réciproque pour pouvoir montrer qu'elle est C^1 et donc que c'est un difféo.
Ok je vois.

oui, c'est ce que je voulais faire, car j'ai déja vu une telle formule.

Posted by: Rain'

Citation:

Posté par busard_des_roseaux

Comment trouver une détermination analytique, ie, une formule donnant
l'argument $\theta$ en fonction de x et y,
pour inverser la fonction de GénieDesAlpages.

theta = 2 arccos [ x / (2[x²+y²]^(1/2))] te convient-il ?

Posted by: Joker62

Rain' va nous l'amener sur un plateau apparemment :p
On va attendre :D

Celle de Wiki est pas mal non plus : http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordo..._cart.C3.A9sien

Par contre, le 2 devant le Arccos il sert à quoi ???

Parce qu'en fait on a :

$cos(\theta) = \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}$
$sin(\theta) = \frac {y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Donc la formule donnée coule de source on va dire :^)

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par Rain'

theta = 2 arccos [ x / (2[x²+y²]^(1/2))] te convient-il ?

non, pas vraiment, car

$\displaystyle \theta(-1,0)=\frac{4 \pi}{3} \neq \pi$

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par Joker62

On a :

$cos(\theta) = \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}$
$sin(\theta) = \frac {y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Donc la formule donnée coule de source on va dire :^)

ben non, elle est difficile à trouver avec arccos,arcsin et arctan.
ce qui est demandé, c'est une seule formule, analytique, qui marche
sur $R^2 - R^+$

Posted by: Rain'

Effectivement , désolé j'ai confondu cos(x)/2 et cos(x/2)

En réalité c'est plutôt $2 arccos(\sqrt{\frac{x}{2\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{1}{2} })$

PS : ou pas, m'enfin ça va venir

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par Rain'

Effectivement , désolé j'ai confondu cos(x)/2 et cos(x/2)

En réalité c'est plutôt $2 arccos(\sqrt{\frac{x}{2\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{1}{2} })$

PS : ou pas, m'enfin ça va venir

marche pas pour y<0.

les conditions nécéssaires sont:
$\displaystyle \begin{\array} \theta(0,1)=\frac{\pi}{2} \\ \displaystyle \theta(-1,0)=\pi \\ \displaystyle \theta(0,-1)=\frac{3\pi}{2}$

Posted by: Rain'

Effectivement avec un sgn(y) entre le arcos et la racine et ça va mieux.

Posted by: legeniedesalpages

ok, je commence à mieux comprendre ces histoires de dérivées, et merci à joker pour ta solution, mais du moins si j'ai bien compris tu utilises des outils d'analyse complexe busard auxquels je ne suis pas familier mais ça a l'air bien intéressant.

Je me demandais pour quoi ça ne marche pas:

on a bien $cos(\theta) = x/r$ ,

et alors pourquoi $\theta = arccos(x/r)$ , ne convient pas?

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par legeniedesalpages

$cos(\theta) = x/r$ ,

et alors pourquoi $\theta = arccos(x/r)$ , ne convient pas?

L'ensemble d'arrivée de la fonction arccos est $[0,\pi]$
La fonction est paire en la variable y et donnera la même argument au dessus
et en dessous de l'axe x'ox.

Posted by: legeniedesalpages

d'accord, merci busard.

Posted by: busard_des_roseaux

$\displaystyle \theta=\pi+2\arctan \left( \frac{y}{x- \sqrt{x^2+y^2}} \right)$

Le domaine de définition est $\mathbb{R^{2}} - \mathbb{R^{+}}$

$\theta \in ]0,2\pi[$

$\displaystyle \tan(\theta)=\frac{ \frac{2y}{x-sqrt{x^2+y^2}}}{1-\frac{y^2}{{(x-\sqrt{x^2+y^2})}^2}}=\frac{y}{x}$

le difféomorphisme inverse est donné par:

$\displaystyle (x,y) \longrightarrow (r=\sqrt{x^2+y^2},\theta=\pi+2\arctan \left( \frac{y}{x- \sqrt{x^2+y^2}} \right))$

il y a quelque chose qui me chagrine encore, je ne sais pas d'où vient cette formule (qui marche), i.e, je n'ai pas fait le lien avec le log complexe.
quelqu'un peut expliquer ?

Posted by: Joker62

Ouah ! C'est pas rien :^)
Mais c'est bon à savoir !
Tu l'as sortie d'où ?

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par Joker62

Ouah ! C'est pas rien :^)
Mais c'est bon à savoir !
Tu l'as sortie d'où ?

je l'ai bricolée à partir d'içi

Posted by: Joker62

Ok ok :) l'analyse complexe j'attaque ça en Janvier ! J'aurais l'temps d'voir tout ça lol :)