Bonjour,je ne sais pas ce que je dois faire avec cette question...pouvez vous m'aider?
On munit Rn de sa structure euclidienne canonique:on note le produit scalaire (x,y).On considère A qui appartient à Mn(R) symétrique. Soit a l'endomorphisme (symétrique) canoniquement associé à la matrice A.Le but de l'exercice est de montrer que l'endomorphisme a est diagonalisable en base orthonormée, et donc que A est orthogonalement semblable à une matrice diagonale.
a) Soit f:Rn -->R, f(x)=(a(x),x).
Montrer qu'il existe xo de norme 1 tel que f(xo)=supf(x) avec ||x||=1.
b)soit y qui appartient à Rn,||y||=1.soit t qui appartient à [-1,1] (mais différent de -1 et 1).Montrer que : (a(xo+ty),xo+ty)<(a(xo),xo)||xo+ty||² (c'est infférieur ou egal mais je ne sais pas faire le signe..dsl...) eten déduire que xo est vecteur propre pour a.(Indication:faire tendre t vers 0).
c) Montrer que l'hyperplan orthogonal à xo (noté (Rxo-)) est stable par a ,et que la restriction de a à (Rxo-) est un endomorphisme symétrique de (Rxo-) muni de la struture euclidienne induite par celle de Rn.
d) En déduire qu'il existe une base orthonormée de Rn qui diagonalise a.
J'ai fait les deux première questions,mes problèmes sont:
-la fin de la question b: quand je fais tendre t->0 je trouve : a((xo),xo)<= ||xo||²a((xo),xo).Est ce que de là je peux en déduire que xo est un vecteur propre de a?
-ensuite il me semble qu'à la question c) il faut utiliser le fait que (a(x),y)=(x,a(y)) mais aprés je n'arrive pas à commencer...
-à cette question ,meme si je suppose que la c) est ok je ne vois pas du tout comment je peux faire..
Pouvez vous me donner une correction de la question c) et d) afin que je puisse avancer?
Merci d'avance
Posted by: Nightmare
Salut
1)
Voila l'idée :
Il suffit d'utiliser le fait que f soit continue et que la sphère unité sur R^n est compacte. Par conséquent la borne supérieur de f est une maximum atteint pour un vecteur X0.
Considère .
Elle est positive et s'annule en X0. Or, un corollaire de Cauchy-Schwartz est que le noyau d'une forme quadratique positive est égal à son cône isotrope.
Par conséquent : CQFD.
Ensuite on réitère le procéder dans l'orthogonal de X0 stable par A car A est symétrique (à prouver)
On a alors une base de vecteurs propres après un nombre fini d'itérations.
Posted by: Nightmare
Oups désolé je n'avais pas vu que tu avais déjà fait la a) et la b)
Pour la c), ce n'est pas dur :
Comment définis-tu l'orthogonal? Que veut dire symétrique? Il y a des ressemblances non? Tu ne vois pas comment l'appliquer?
Posted by: Maxmau
Bj
dans l'inégalité obtenue en b/
développe à gauche et à droite la norme au carré
simplifie par f(x0) puis divise par t (une fois t positif et une fois t négatif)
fais tendre t vers zéro à chaque fois
Tu obtiens la nullité d'un certain produit scalaire et cela pour tout y
Posted by: Maxmau
Un autre éclairage :
Le gradient de g(x) = ||x||² est gradg(x) = 2x
Le gradient de f(x) = (a(x) | x ) est gradf(x) = 2a(x)
D’après un résultat classique (multiplicateurs de Lagrange) Si f admet un extremum en x0 sur la sphère unité (g(x) = 1) alors gradf(x0) est proportionnel à gradg(x0)
D’où a(x0) = λx0 (1 seul multiplicateur) et f(x0) = (λx0) | x0 )=λ
de f est une maximum atteint pour un vecteur X0.
.
CQFD.