Mathématiques - diagonalisation

diagonalisation
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Posted by: legeniedesalpages

Bonjour, je coince sur cet exercice:

On travaille ici avec $K=\mathbb{R}$ . On suppose que $f^2+f+Id=0$ .

a. Est-ce que f est diagonalisable?

b. Déterminer $\theta\in \mathbb{R}$ pour lequel on a: $f^n=\frac{1}{\sin(\theta)} (\sin(n\theta)f - \sin((n-1)\theta)Id$ ) pour tout $n\in \mathbb{N}$ . Est-ce que cette égalité s'étend à $n\leq 0$ .

Je ne saisis pas vraiment pour la a. Avant on calculait le polynôme caractéristique pour voir si un endomorphisme est diagonalisable. Là apparemment il faut faire autre chose mais je vois pas vraiment quoi.

Merci pour votre aide.

Posted by: alben

Bonjour
en multipliant les deux membres de f²+f+I=0 par (f-I), on arrive à f^3=I, ça semble curieux si les corps des scalaires est R
Tu peux supposer que f est diagonalisable, donc s'écrit... et la relation ci-dessus te conduit à une contradiction

Posted by: klevia

Salut, on a le théorème suivant :
f diagonalisable <=> son polynome minimal est scindé à racines simples.

Ici, X²+X+1 est un polynome annulateur de f non factorisable dans R donc c'est le polynome minimal de f donc f n'est pas diagolisable .

Posted by: legeniedesalpages

merci, je vais regarder ça
:)

Posted by: legeniedesalpages

pour la b., je suis perdu, quel rapport il y a entre l'endomorphisme f et des sinus?

Posted by: legeniedesalpages

b. Déterminer $\theta\in \mathbb{R}$ pour lequel on a: $f^n=\frac{1}{\sin(\theta)} (\sin(n\theta)f - \sin((n-1)\theta)Id$ ) pour tout $n\in \mathbb{N}$ . Est-ce que cette égalité s'étend à $n\leq 0$ .

Bon déjà pour voir si f est bijective, et là je vois pas ce qui permet de nous le dire.

Enuite peut être faut-il que je me serve du fait que $f=-1\times(f^2+Id)$ , et donc $f^n=(-1)^n\times(f^2+Id)^n$ .

Posted by: kazeriahm

salut

on a -f^2-f=Id donc f(-f-Id)=Id donc f est inversible

Posted by: achille

Citation:

Posté par klevia

Salut, on a le théorème suivant :
f diagonalisable <=> son polynome minimal est scindé à racines simples.

attention pas d'équivalence, la matrice nulle est very diagonalisable sans pour autant avoir un polynome carac à racines simple : il est (-X)^n, mais le sens <= est juste, et il fait l'affaire pour la première question considérant le corps....

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par achille

non mais pour le polynôme minimal il y a bien équivalence.

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par kazeriahm

salut

on a -f^2-f=Id donc f(-f-Id)=Id donc f est inversible

ah d'accord, merci.

Tu aurais une piste à me donner pour la formule avec le sinus? je dois faire une genre de binôme de Newton?

Posted by: achille

Citation:

Posté par legeniedesalpages

non mais pour le polynôme minimal il y a bien équivalence.

sory j'ai cru avoir lu polynom carac...

Posted by: kazeriahm

deja pour n=2 tu as

f^2=1/sin(theta)*(sin(2theta)f-sin(theta)*Id))

Donc 2*cos(theta)=-1 (si theta existe), et theta=+-Pi/3 [2Pi]

De plus il est clair que si theta convient, -theta aussi. Donc si theta existe theta=+-Pi/3 [2Pi].

Maintenant je pense qu'une récurrence permet de conclure.

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par kazeriahm

deja pour n=2 tu as

f^2=1/sin(theta)*(sin(2theta)f-sin(theta)*Id))

Donc 2*cos(theta)=-1 (si theta existe), et theta=+-Pi/3 [2Pi]

De plus il est clair que si theta convient, -theta aussi. Donc si theta existe theta=+-Pi/3 [2Pi].

Maintenant je pense qu'une récurrence permet de conclure.

ok merci je regarde ça, par contre ce serait plutôt $\theta = \stackrel{+}{-} \frac{2\pi}{3}\ (\mbox{mod }2\pi)$ , non?

Posted by: legeniedesalpages

par contre j'ai du mal à montrer l'hérédité pour la récurrence,

ie si c'est vérifié jusqu à l'entier n, comment montrer que c'est vérifié pour n+1 ?

Posted by: kazeriahm

j'aurais dit avec le binome de Newton, sans garanti

Posted by: legeniedesalpages

ok merci kazeriahm, je regarderai ça plus tard.