> (re)bonjour cette fois ci je voudrais vérifier si la réponse a un des
> exercices que je fais est correcte
>
> pour quelles valeurs de (a,b,c) rééls est il possible de diagonaliser
> cette
> matrice
>
> (1 a 1)
> (0 1 b)
> (0 0 c)
> bizarrement je trouve qu'on ne peut jamais la diagonaliser en effet le
> polynome caractéristique est (X-1)^2(X-c)
> et si j'étudie la valeur propre 1 je trouve que l'on doit avoir b=0 et
> c=1
> et d'autre part que le sous espace propre est de dimension 2 . Or si c=1
> pour que ma matrice soit diagonalisable il faut que le sous espace propre
> de
> 1 soit précisément de dimension 3
> ou est l'erreur dans mon raisonnement car il me semble étrange qu'aucune
> valeur ne convienne
>
> merci d'avance
>
>
Posted by: Eric
- Gauss :
>
>
>> (re)bonjour cette fois ci je voudrais vérifier si la réponse a un des
>> exercices que je fais est correcte
>>
>> pour quelles valeurs de (a,b,c) rééls est il possible de diagonaliser
>> cette
>> matrice
>>
>> (1 a 1)
>> (0 1 b)
>> (0 0 c)
>> bizarrement je trouve qu'on ne peut jamais la diagonaliser en effet
>> le polynome caractéristique est (X-1)^2(X-c)
>> et si j'étudie la valeur propre 1 je trouve que l'on doit avoir b=0
>> et c=1
pour "étudier" la vp 1 tu as prix un vecteur propre associé à la vp 1 donc
tu te place déjà dans le sev propre particulier et pas dans tout E. normal
que tu trouves que c =1 dans ce cas ...
as-tu vu ce qu'était le polynome minimal ?
Posted by: Yves Kuhry
On Sun, 17 Apr 2005 17:40:00 +0200
"Gauss" <Gauss@msn.com> wrote:
>
>
> > (re)bonjour cette fois ci je voudrais vérifier si la réponse a un des
> > exercices que je fais est correcte
> >
> > pour quelles valeurs de (a,b,c) rééls est il possible de diagonaliser
> > cette
> > matrice
> >
> > (1 a 1)
> > (0 1 b)
> > (0 0 c)
> > bizarrement je trouve qu'on ne peut jamais la diagonaliser en effet le
> > polynome caractéristique est (X-1)^2(X-c)
> > et si j'étudie la valeur propre 1 je trouve que l'on doit avoir b=0 et
> > c=1
ou X de la forme (x,y,0)' et a=0
> > et d'autre part que le sous espace propre est de dimension 2 . Or si c=1
> > pour que ma matrice soit diagonalisable il faut que le sous espace propre
> > de
> > 1 soit précisément de dimension 3
Il y a deux valeurs propres donc un espace propre associé a chacune, dont la dimension est >=1 et <= à la mutiplicité de la valeur propre. Pour que la matrice soit diagonalisable, il faut que la somme des dimensions des espaces propres soit égale à la dimension de l'espace (3).
--
Yves Kuhry
Posted by: Fouesneau Morgan
Le Sun, 17 Apr 2005 17:40:00 +0200, Gauss a écrit*:
>> (re)bonjour cette fois ci je voudrais vérifier si la réponse a un des
>> exercices que je fais est correcte
>>
>> pour quelles valeurs de (a,b,c) rééls est il possible de diagonaliser
>> cette
>> matrice
>>
>> (1 a 1)
>> (0 1 b)
>> (0 0 c)
>> bizarrement je trouve qu'on ne peut jamais la diagonaliser en effet le
>> polynome caractéristique est (X-1)^2(X-c)
>> et si j'étudie la valeur propre 1 je trouve que l'on doit avoir b=0 et
>> c=1
>> et d'autre part que le sous espace propre est de dimension 2 . Or si c=1
>> pour que ma matrice soit diagonalisable il faut que le sous espace propre
>> de
>> 1 soit précisément de dimension 3
>> ou est l'erreur dans mon raisonnement car il me semble étrange qu'aucune
>> valeur ne convienne
>>
>> merci d'avance
>>
Bon j'ai l'impression que tu as du rater quelque chose parce que c'est un
exercice dans lequel il faut étudier beaucoup de cas et ne pas se laisser
emporter par l'élan.
* D'abord tu veux étudier E(1)
La deux cas obligatoires à faires : c=1 ou c!=1 (pas égal)
* c!=1 :
la méthode classique résoudre le système pour trouver un vecteur du
sous espace propre.
ici
c=1 => z=0 et enfin différentier sur a :
* a!=0 :
=>y=0 donc dim(E(1))<2
PAS DIAGONALISABLE
* a=0 :
on obtient : E(1)=vect([1,0,0],[0,1,0]) (1)
* c=1 :
on obtient alors une discution sur b
* b=0
on obtient alors dim(E(1))=1
PAS DIAGONALISABLE
* b!=0 encore une discution sur a et on s'apperçoit que dans tous les
cas le sous espace n'est pas de dimension 2.
* ensuite il faut étudier le sous espace E(c) avec c!=1 sinon c'est idiot.
L'étude est directe et donne :
remarque : b=0 => y=0 (AX=cX et X=[x,y,z])
si b non nul :
E(c)=vect([1, (b+c-1)/(b*(c-1)), (b+c-1)/(b)] (2)
en allant vite mais c'es a regarder de plus près si on résoud du autre
façon le système j'ai trouvé également un vecteur
peut être une valeur imposée pour a car jusqu'ici a est quelconque.
ATTENTION : c'est pas tout à fait fini (exercice casse ...), reste à
imposser b pour que le vecteur donné par (1) par ex ne soit pas prop à
ceux trouvés en (1). On obtient b!=1-c ce qui reprend b!=0.
CONCLUSION : cette matrice est diagonalisable si c!=1, b!=1-c et (à
vérifier) a quelconque, dans la base :
J'espère ne pas avoir fait d'erreurs de calcul et que les explication
sont assez claires.
NB : pour ceux qui parlent du pollynome minimal, c'est bien mais ici c'est
inutile car au mieux il vaut (x-1)(x-c) donc n'apporte rien de plus et
perd même la dimension des sous espace propre pour avoir une matrice
diagonalisable.
Posted by: Ken Pledger
Dans l'article <pan.2005.04.18.21.09.15.404356@free.fr>,
Fouesneau Morgan <morgan.fouesneau@free.fr> a écrit:
> ....
> NB : pour ceux qui parlent du pollynome minimal, c'est bien mais ici c'est
> inutile car au mieux il vaut (x-1)(x-c) donc n'apporte rien de plus et
> perd même la dimension des sous espace propre pour avoir une matrice
> diagonalisable.
>
Une matrice carrée est diagonalisable ssi son polynôme minimal
s'exprime en produit de facteurs distincts du premier degré. Ainsi un
polynôme minimal (x-1)(x-c) montre que la matrice est diagonalisable
ssi c != 1.