Pb ds la démo : (f diagonalisable) <=> (Somme(dim(Ei))=n) où Ei est l'espace propre associé à la valeur propre Li :
dim F = dim E1 + dim E2 + ... + dim Er (F étant la somme directe des Ei)
Jusque là je suis d'accord...
Puis on pose : Ki(f) = (X-L1)^n1.(X-L2)^n2.(...).(X-Lr)^nr.P(X) polynôme caractéristique de f (l'endomorphisme considéré) et on dit :
dim F <= n1+n2+...+nr : là je ne vois pas...
Merci d'avance...
Posted by: Rain'
dim F n1+n2+...+nr
car dim Ei ni
En effet soit p= dim Ei.
Soit une base de Ei qu'on peut compléter par en une base de E.
Ecrit f dans cette base : Par la formule du déterminant par bloc tu en déduis Ki(f) = (X-Li)^p * un déterminant (n-p)*(n-p)
donc (X-Li)^p | Ki(f) et p ni
Posted by: abcd22
Bonjour,
Je ne vois pas ce qu´il y a à démontrer dans ton équivalence, par définition f (endomorphisme de E de dim n) est diagonalisable ssi où les sont les sous-espaces propres de f, on sait que les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe donc et ssi ces deux espaces ont la même dimension puisqu´on a une inclusion évidente.
n1+n2+...+nr 
une base de Ei qu'on peut compléter par 
en une base de E. 
où les 
sont les sous-espaces propres de f, on sait que les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe donc 
et