Mathématiques - devoir de vacance diifiiciile !!!

devoir de vacance diifiiciile !!!
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Posted by: zuzudu09

Bonjour,

Ce devoir est à rendre pour dans une semaine mais je n'y arrive pas jespère donc que vous pourrez m'aider...
Merci d'avance pour vos reponses.

Il s'agit tout d'abord d'un système d'équation:

x/2 - y/3 = 1

3x - 5y = -3

Merci...

Puis de ce système:

Dans une salle, il y a 3 fois plus de garçons que de filles ; 6 garçons quittent la salle et 4 filles arrivent il y a alors autant de garçons que de filles.

Combien y avait-il de garçons et de filles au départ dans la salle ?

Merci pour vos reponces ...

Posted by: maf

x/2 - y/3 = 1

3x - 5y = -3

Multiplie la première par (-6) et additionne tes deux équations

ou alors multiplie la première par 2 est trouve une équation du type x = ...y + ... et insère x dans la seconde équation et tu arrive à résoudre y

Pour le deuxième système, pose x le nombre de garçons, y le nombre de filles, pose les deux équations et résoud les de la même manière que pour ton premier système

Posted by: zuzudu09

mercii !!!!

Posted by: maf

tu peux poster tes réponses si tu veux qu'on les vérifie !! (mais si tu le fais, mets un peu ton détail,qu'on puisse corriger le cas échéant)

Posted by: yvelines78

rebonjour,

les systèmes d'équations ne sont abordés qu'en 3ème et tu dis entrer en 4ème!!!!
es-tu dans un cursus français?

Posted by: zuzudu09

nn jai juste pris des devoirs de ma soeur que j'ai essayer de realiser et puis j'ai pris la leçon sur un livre j'ai donc appris tout cela mais je voudrais savoir comment resoudre ces systemes seuleument par curiosité !!!!

merci à vous ...

Posted by: yvelines78

bonjour,

sais-tu qu'il y a deux façons de résoudre un système à 2 équations : par substitution et par combinaison.

Par combinaison : il faut éliminer une des inconnues en additionnant ou en soustrayant les 2 équations
x/2 - y/3 = 1 (1)
{
3x - 5y = -3 (2)

ici si tu multiplies (1) par 6, tu obtiens un système équivalent :
(1)*6---> 6x/2-6y/3=1*6 soit 3x-2y=6

tu as le système suivant :
3x-2y=6
{
3x-5y=-3

(1)-(2)=(3x-2y)-(3x-5y)=6-(-3)
-2y+5y=6+3=9
3y=9
y=9/3=3

on remplace y par sa valeur dans (1) ou (2) pour trouver x
3x-5y=-3
3x-5*3=-3
3x=15-3=12
x=12/3=4

vérification :
3x-2y=3*4-2*3=12-6=6
3x-5y=3*4-5*3=12-15=-3

par substitution : on exprime une des inconnues en fonction de l'autre d'après une des équations et on remplace dans l'autre
(1) x/2-y/3=1---->3x/6=6/6+2y/6
3x=6+2y
x=6/3+2y/3=2+2y/3

(2) 3x-5y=-3
3(2+2y/3)-5y=-3
6+6y/3-5y=-3
2y-5y=-3-6
-3y=-9
y=-9/-3=3

x=2+2y/3=2+2*3/3=2+2=4

S={4;3}

Posted by: zuzudu09

Merci pour ta reponse mais étanrt en 5ème je n'y arrive pas !!!!
Alors j'aimerai bien par curiosité que l'on me le montre j'ai essayé de le resoudre mais je n'arrive pas à poser tout simplement le système merci !!!

Posted by: yvelines78

suis pas à pas ce que j'ai fait!!!

cependant, je relève une contradiction dans ton discours : ce serait un devoir à rendre dans une semaine et c'es aussi un exo qui est du niveau de ta soeur.

ne crois-tu pas que tu nous dois des éclaircissements!!!

Posted by: Fanatic

Tu anticipes drôlement... En effet les systèmes linéaires sont au programme de 3ème.
Il y a 2 méthodes pour les résoudre (substitution et addition/combinaison linéaire - Pivot de Gauss) et 1 méthode graphique basée sur la représentation graphique de fonctions affines permettant de donner une approximation de la solution du système par lecture graphique.
Il est difficile de te faire un cours complet dans un forum. Surtout que tu es bien jeune et il va t'être difficile de comprendre et assimiler la résolution des systèmes linéaires.
Enfin, ton système présente 2 équations à 2 inconnues $x$ et $y$ . Or résoudre une équation à 2 inconnues tu ne sais pas faire. En 5ème tu vois tout juste les équations basiques $x+a=b$ ; $x-a=b$ ; $ax=b$ ; $ax+b=c$ .
Donc il te faut transformer les équations en équations à une inconnue.
Tu as 2 questions pour ton problème, basé sur les systèmes :
Je vais te montrer comment faire. Considère que c'est exercice résolu pour te montrer l'exemple.
Mais franchement tu ferais mieux d'aller à la plage ou la piscine, t'éclater avec tes copains, copines ou anticiper sur la 4ème mais pas sur la 3ème.
Bref, allons y :
Le principe de la méthode combinaison est d'éliminer une inconnue d'une équation par addition (il est toujours plus simple d'additionner que de soustraire...).
Voici ton système :
1)
$(S):\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} x-\frac{1}{3} y=1,\ & \mbox{(L_1) } \\ 3x-5y=-3,\ & \mbox{(L_2) } \end{matrix}\right$
Choisissons ici d'éliminer le $x$ de la 1ère équation $L_1$ . On multiplie $L_1$ et/ou $L_2$ par des coefficients judiscieusement choisi pour que le coefficient de $x$ de la 1ère et 2ème équation soit opposés, ils disparaitront donc par addition.
La 2ème équation va rester en attente jusqu'à ce que l'on trouve la valeur de $y$ dans $L_1$ , puis on remplacera (on substitue) cette valeur dans $L_2$ pour trouver $x$ .
Il faut savoir aussi qu'on a le droit de multiplier les 2 membres d'une égalité par un même nombre sans en changer les solutions. On la le droit d'ajouter ou de soustraire membre à membre les 2 équations.
Les systèmes écrits les uns sous les autres sont équivalents. On obtient :
$\left\{\begin{matrix} -3x+2y=1,\ & \mbox{(-6\times{L_1} \longrightarrow L_1)} \\ 3x-5y=-3,\ & \mbox{(L_2)} \end{matrix}\right$
$\left\{\begin{matrix} -3y=-9,\ & \mbox{(L_1+L_2 \longrightarrow L_1)} \\ 3x-5y=-3,\ & \mbox{(L_2) } \end{matrix}\right$
$\left\{\begin{matrix} \b{y=3},\ & \mbox{(L_1)} \\ 3x-5\times 3=-3,\ & \mbox{(L_2) } \end{matrix}\right$
On a remplacé la valeur trouvé de $y$ dans la 2ème équation.
$\left\{\begin{matrix} \b{y=3},\ & \mbox{(L_1)} \\ 3x=-3+15=12,\ & \mbox{(L_2)} \end{matrix}\right$
$\left\{\begin{matrix} \b{y=3},\ & \mbox{(L_1)} \\ \b{x=4},\ & \mbox{(L_2)} \end{matrix}\right$
La solution du système est le couple $(x;y)=(4;3)$

2)
La 2ème question de ton problème n'a évidemment rien à voir avec la 1ère mais il s'agit ici de modéliser le problème par un système. C'est à toi de le trouver ce système, on ne te le donne pas.
Il faut tout d'abord définir les inconnues ; puis les éventuelles contraintes sur chaque inconnues ; traduire l'énoncé avec un système ; résoudre le système ; vérifier qu'on obéit bien aux contraintes ; formuler une réponse concrète au problème.
Soit $x$ le nombre de garçons au départ dans la classe, $x$ doit être un entier positif (entier naturel)
Soit $y$ le nombre de garçons au départ dans la classe, $y$ doit être un entier positif (entier naturel)
L'énoncé revient à résoudre le système suivant :
$(S^\prime):\left\{\begin{matrix} x=3y,\ & \mbox{(L_1)} \\ x-6=y+4,\ & \mbox{(L_2)} \end{matrix}\right$
En substituant l'expression de $x$ de $L_1$ dans $L_2$ il vient :
$\left\{\begin{matrix} x=3y,\ & \mbox{(L_1)} \\ 3y-6=y+4,\ & \mbox{(L_2)} \end{matrix}\right$
$\left\{\begin{matrix} x=3y,\ & \mbox{(L_1)} \\ 2y=10,\ & \mbox{(L_2)} \end{matrix}\right$
$\left\{\begin{matrix} \b{x=15},\ & \mbox{(L_1)} \\ \b{y=5},\ & \mbox{(L_2)} \end{matrix}\right$
Ici on a d'abord trouvé $y$ dans $L_2$ puis on a remplacé sa valeur dans $L_1$ pour trouver $x$ .
La solution du système est le couple $(x;y)=(15;5)$
Ainsi il y avait 15 garçons et 5 filles dans la classe. Ces 2 valeurs sont bien des entiers naturels et vérifient bien les conditions de l'énoncé.

Posted by: Fanatic

Excuses yvelines78 tu avais déjà fait le travail

, nos messages se sont croisés...
J'ai fait un petit cours rapide et j'ai essayé de présenter ça joliment en $\LaTeX$ c'est peut être plus clair pour visualiser les choses et comprendre...
@+

Posted by: Timothé Lefebvre

Juste une précision par rapport aux systèmes linéaires, on les voit en seconde ; ce sont les systèmes d'équations (et d'inéquations) à deux inconnues qu'on voit en troisième (on les résoud par combinaison et substitution d'ailleurs).

Posted by: Fanatic

Non, système linéaire veut dire système d'équations linéaires (à 2 inconnues en 3ème et plus en 2nde, 1ère...) de la forme $ax+by=c$ par opposition aux systèmes non linéaires du type $ax^2+b\sqrt y=c$ par exemple. Les systèmes qu'on étudient en 3ème sont exactement les même que ceux de 2nde et on utilise d'ailleurs les mêmes méthodes pour les résoudre. Ce sont les systèmes linéaires à 2 inconnues. Au delà de la seconde on apprend le pivot de Gauss et les changements de variables pour résoudre les systèmes à plus de 2 inconnues et aux équations non linéaires.
Je crois que c'est confus dans ton esprit ou alors Il faudra que tu m'expliques la différence entre "les systèmes d'équations (et d'inéquations) à deux inconnues qu'on voit en troisième" et "les systèmes linéaires de 2nde"...
@+

Citation:

Posté par Timothé Lefebvre

Juste une précision par rapport aux systèmes linéaires, on les voit en seconde ; ce sont les systèmes d'équations (et d'inéquations) à deux inconnues qu'on voit en troisième (on les résoud par combinaison et substitution d'ailleurs).

Posted by: Clembou

Citation:

Posté par Fanatic

Non, système linéaire veut dire système d'équations linéaires (à 2 inconnues en 3ème et plus en 2nde, 1ère...) de la forme $ax+by=c$ par opposition aux systèmes non linéaires du type $ax^2+b\sqrt y=c$ par exemple. Les systèmes qu'on étudient en 3ème sont exactement les même que ceux de 2nde et on utilise d'ailleurs les mêmes méthodes pour les résoudre. Ce sont les systèmes linéaires à 2 inconnues. Au delà de la seconde on apprend le pivot de Gauss et les changements de variables pour résoudre les systèmes à plus de 2 inconnues et aux équations non linéaires.
Je crois que c'est confus dans ton esprit ou alors Il faudra que tu m'expliques la différence entre "les systèmes d'équations (et d'inéquations) à deux inconnues qu'on voit en troisième" et "les systèmes linéaires de 2nde"...
@+

On voit quand même la différence de présentation entre le message de Yvelines78 et Fanatic. Bravo Fanatic pour tes efforts de présentation en $\LaTeX$

Posted by: Fanatic

Héhé merci mon pote

Citation:

Posté par Clembou

On voit quand même la différence de présentation entre le message de Yvelines78 et Fanatic. Bravo Fanatic pour tes efforts de présentation en http://www.maths-forum.com/images/l...ed6ab56b2b9.gif

Posted by: Timothé Lefebvre

Citation:

Posté par Fanatic

Je crois plutôt que je me suis mal exprimé, pardonne-moi ... Je connais bien le programme de troisième et aussi celui de seconde et je peux affirmer sans me tromper que la dénomination "système linéaire" n'est pas étudiée en troisième ; après va savoir pourquoi !

Posted by: Fanatic

ah oui ok ça marche. En réfléchissant bien, j'ai intitulé ce chapitre cette année "systèmes d'équations du 1er degré à 2 inconnues".
Tu as raison, le mot linéaire n'était pas à employer.
Bien vu

Posted by: Timothé Lefebvre

Effectivement, et nous pourrions expliquer en troisième pourquoi on parle de "système linéaire", en montrant et analysant la représentation graphique du résultat que donne le système (d'équation d = ax + b dans notre cas).