Devoir TS : étude de fonction et interprétation géométrique

[sabine59]

Bonjour!
J'ai un devoir qui me pose quelques problèmes :triste: et je cherche de l'aide, si quelqu'un pouvait me mettre sur la voie... :help:

Voici le sujet complet:

1ère partie : étude d'une fonction f

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;1[ par f(x)=racine de (x^3/(1-x)).
On note (Y) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O;i,j) (unité graphique 5cm)

1) Justifier que f est bien définie sur l'intervalle [0;1[
2) déterminer la limite de f en 1
3) étudier la dérivabilité de f en 0
4) montrer que f est dérivable sur ]0;1[ et calculer f'(x)
5) dresser le tableau de variation de la fonction f
6) montrer que l'équation f(x)=1 admet une unique solution alpha et donner un encadrement de alpha à 10^-3 près
7) donner une équation de la tangente T à (Y) au point d'abscisse 1/2
8) sur le même graphique, construire T, (Y) puis la courbe (Y') symétrique de (Y) par rapport à l'axe des abscisses
9) On pose (P)=(Y)U(Y')
Montrer que M(x;y) appartient a la courbe (P) si et seulement si x(x²+y²)-y²=0 (équation de (P))

Pour cette partie il me manque uniquement les questions 7 ( j'ai utilisé la formule y=f'(a)(x-a)+f(a) mais le résultat n'est pas la tangente passant par le point d'abscisse 1/2, mais une de ses parallèles) et 9 ( je suppose que je dois trouver une équation de (Y') mais je ne vois pas comment procéder)... :hein:

2ème partie : interprétation géométrique de la courbe (P)

I est le point de coordonnées (1;0), C le cercle de diamètre [OI] et delta la tangente à C au point I. d est la droite passant par O de coefficient directeur t, t appartient aux réels

1) déterminer une équation du cercle C
2) déterminer les coordonnées du point N, intersection de delta et d
3) déterminer les coordonnées du point M, intersection, autre que O, de C et d
4) déterminer les coordonnées du point M', intersection, autre que O, de (P) et d
5) démontrer que vecteur OM'= vecteur MN
6) en déduire une construction (un procédé de construction) "point par point" de la courbe (P) à partir de M et N

En ce qui concerne cette partie, je n'ai que les 2 premières questions...
Mais les coordonnées des points doivent être en fonction de t?

Voilà, ça fait un bon bout de temps que je bosse sur ce dm :mur: , et j'espère que vous pourez me mettre sur la voie...
Merci de votre patience...

[sabine59]

Personne n'a d'idée(s)? :soupir2:

[sabine59]

J'aimerai vraiment boucler ce devoir aujourd'hui pour être tranquille demain (c'est pour jeudi) et profiter de mon dernier jour de vacances...
Voici ce que j'ai trouvé, si ça peut être utile...

1ère partie :
1) f définie sur [0;1[
2)limite de f en 1= +l'infni
3) f non dérivable en 0
4) f dérivable sur ]0;1[ et f'(x)= -(3/2)*racinede(x-x²)
5) f strictement croissante sur [0;1[
6) f(x)=1 a une unique solution alpha telle que : 0.6827)?
9)?

2ème partie :
1) y²+x²-x=0
2) N(1;t)
3)?
4)?
5) avec les réponses précédentes je peux le faire sans problème...
6) sans la réponse 3 je ne peux pas répondre...

Aidez moi s'il vous plait!! Je n'avance plus... :briques:
Merci d'avance...

[sabine59]

En cherchant j'ai trouvé des pistes mais je n'arrive pas à aller jusqu'au bout...

1ère partie :
7) T tangente à (Y) au point d'abscisse 1/2 et d'ordonnée
f(1/2)=1/2 (j'ai vérifié c'est ça)...
T a une équation du type y= f'(a)(x-a)+f(a) et passe par le point A(1/2;1/2)
donc : y= ((-3/2)*racine de((1/2)-(1/2)²))(x-1/2)+1/2
... et j'arrive à y=(-3/4)x+(7/8)
mais en vérifiant, on remarque que ça n'est pas ça du tout et je n'arrive pas à voir où est mon erreur... :cry:
9) je ne vois vraiment pas comment faire (à part chercher l'équation de (Y') mais je ne vois pas non plus comment faire)

2ème partie :
3) M=C inter d
donc on obtient un système
y²+x²-x-(3/4)=0
y=tx
le problème est que je n'arrive pas à aller jusqu'au bout...

4) M'= (P) inter d
j'ai aussi tenté un système mais je n'arrive pas non plus à le résoudre...
x(x²+y²)-y=0
y=tx
... :mur:

S'il vous plait dites moi où je me trompe!

[Arka]

Etant eleve de TS je peux au moins te dire la question 7

T(x) : Y(1/2)+Y'(1/2)(x-1/2) au voisinage de 1/2

EDIT: pas vu que tu t'etait repondu.

[sabine59]

Etant eleve de TS je peux au moins te dire la question 7

T(x) : Y(1/2)+Y'(1/2)(x-1/2) au voisinage de 1/2

EDIT: pas vu que tu t'etait repondu.

C'est ce que j'ai utilisé mais le problème c'est que mon résultat ne me donne pas une tangente à la courbe... Ce qui est plutôt bizarre mais j'ai beau refaire le calcul je reviens toujours sur T(x)= (-3/4)x+(7/8)...

[Arka]

Je n'assure pas avoir raison(j'en suis au mm niveau que toi en maths), mais je comprend pas ta dérivé:

F(x) : Racine( x^3/(1-x))
Donc c'est une composé de fonction UoV avec U=Racine(x)
V=x^3/(1-x)

(UoV(x))' = V'U'(V(x))

V' = (3x*(1-x) + x^3)/(1-x)²
U' = 1/2racine(x)

donc UoV = (3x*(1-x) + x^3)
-----------------
2racin(x^3/1-x) - 2x²racin(x^3/1-x)

Ca me semble complexe mais pourtant il me semble que c'est sa

[sabine59]

Je n'assure pas avoir a raison(j'en suis au mm niveau que toi en maths), mais je comprend pas ta dérivé:

F(x) : Racine( x^3/(1-x))
Donc c'est une composé de fonction UoV avec U=Racine(x)
V=x^3/(1-x)

(UoV(x))' = V'U'(V(x))

V' = (3x*(1-x) + x^3)/(1-x)²
U' = 1/2racine(x)

donc UoV = (3x*(1-x) + x^3)
-----------------
2racin(x^3/1-x) - 2x²racin(x^3/1-x)

Sa me semble complexe mais pourtant il me semble que c'est sa

en fait, voilà comment j'ai fait :

f'(x)= (1/(2racinede(x^3/(1-x))))*(x^3/(1-x))'
donc f'(x)= (1/(2racinede(x^3/(1-x))))*-3x²
... f'(x)= (-3/2)*racinede(x-x²)
car (vou)'(a)=v'(u(a))*u'(a)...

[Arka]

(x^3/(1-x))' = 3x²?

C'est de la forme de U/V avec U = X^3 et V = 1-x
(U/V)' = (U'V-V'U)/V²

=(3x(1-x) - (x^3*(-1))/(1-x)²
=(3x-3x²+x^3)/(1-x)²

Non?

[sabine59]

(x^3/(1-x))' = 3x²?

C'est de la forme de U/V avec U = X^3 et V = 1-x
(U/V)' = (U'V-V'U)/V²

=(3x(1-x) - (x^3*(-1))/(1-x)²
=(3x-3x²+x^3)/(1-x)²

Non?

Mais oui!! Je suis trop bête! En plus c'est pas la première fois que je fais cette erreur...Merci!

[sabine59]

voilà, maintenant j'ai la 7) de la première partie :
T : 2x-(1/2)
Par contre pour le reste du devoir, est-ce que quelqu'un a une idée?...s'il vous plait... :cry:

[sabine59]

Personne ne peut m'aider? Me mettre sur la voie?...

[Arka]

Que signifie P= Y U Y'
? U= union?
c'est pas pour des intervalles?

[sabine59]

Oui, c'est bien union et c'est écrit comme ça dans mon énoncé...

[sabine59]

Bonjour,
Qui aurait une idée pour me permettre de terminer ce devoir?
Merci de votre aide...